다음을 풀어보세요: 16+x^2+left(4-xright)^2+16={left(4sqrt{5}right)}^2

$$16+ { x }^{ 2 } + { \left(4-x \right) }^{ 2 } +16= { \left(4 \sqrt{ 5 } \right) }^{ 2 }$$

x에 대한 해

$$x=2\sqrt{5}+2\approx 6.472135955$$

$$x=2-2\sqrt{5}\approx -2.472135955$$

근의 공식을 사용한 단계

이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(4-x\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$16+x^{2}+16-8x+x^{2}+16=\left(4\sqrt{5}\right)^{2}$$

16과(와) 16을(를) 더하여 32을(를) 구합니다.

$$32+x^{2}-8x+x^{2}+16=\left(4\sqrt{5}\right)^{2}$$

x^{2}과(와) x^{2}을(를) 결합하여 2x^{2}(을)를 구합니다.

$$32+2x^{2}-8x+16=\left(4\sqrt{5}\right)^{2}$$

32과(와) 16을(를) 더하여 48을(를) 구합니다.

$$48+2x^{2}-8x=\left(4\sqrt{5}\right)^{2}$$

\left(4\sqrt{5}\right)^{2}을(를) 전개합니다.

$$48+2x^{2}-8x=4^{2}\left(\sqrt{5}\right)^{2}$$

4의 2제곱을 계산하여 16을(를) 구합니다.

$$48+2x^{2}-8x=16\left(\sqrt{5}\right)^{2}$$

\sqrt{5}의 제곱은 5입니다.

$$48+2x^{2}-8x=16\times 5$$

16과(와) 5을(를) 곱하여 80(을)를 구합니다.

$$48+2x^{2}-8x=80$$

양쪽 모두에서 80을(를) 뺍니다.

$$48+2x^{2}-8x-80=0$$

48에서 80을(를) 빼고 -32을(를) 구합니다.

$$-32+2x^{2}-8x=0$$

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$2x^{2}-8x-32=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 2을(를) a로, -8을(를) b로, -32을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 2\left(-32\right)}}{2\times 2}$$

-8을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 2\left(-32\right)}}{2\times 2}$$

-4에 2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-8\left(-32\right)}}{2\times 2}$$

-8에 -32을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+256}}{2\times 2}$$

64을(를) 256에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{320}}{2\times 2}$$

320의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±8\sqrt{5}}{2\times 2}$$

-8의 반대는 8입니다.

$$x=\frac{8±8\sqrt{5}}{2\times 2}$$

2에 2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{8±8\sqrt{5}}{4}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{8±8\sqrt{5}}{4}을(를) 풉니다. 8을(를) 8\sqrt{5}에 추가합니다.

$$x=\frac{8\sqrt{5}+8}{4}$$

8+8\sqrt{5}을(를) 4(으)로 나눕니다.

$$x=2\sqrt{5}+2$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{8±8\sqrt{5}}{4}을(를) 풉니다. 8에서 8\sqrt{5}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{8-8\sqrt{5}}{4}$$

8-8\sqrt{5}을(를) 4(으)로 나눕니다.

$$x=2-2\sqrt{5}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=2\sqrt{5}+2 x=2-2\sqrt{5}$$

제곱 완성 단계

이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(4-x\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$16+x^{2}+16-8x+x^{2}+16=\left(4\sqrt{5}\right)^{2}$$

16과(와) 16을(를) 더하여 32을(를) 구합니다.

$$32+x^{2}-8x+x^{2}+16=\left(4\sqrt{5}\right)^{2}$$

x^{2}과(와) x^{2}을(를) 결합하여 2x^{2}(을)를 구합니다.

$$32+2x^{2}-8x+16=\left(4\sqrt{5}\right)^{2}$$

32과(와) 16을(를) 더하여 48을(를) 구합니다.

$$48+2x^{2}-8x=\left(4\sqrt{5}\right)^{2}$$

\left(4\sqrt{5}\right)^{2}을(를) 전개합니다.

$$48+2x^{2}-8x=4^{2}\left(\sqrt{5}\right)^{2}$$

4의 2제곱을 계산하여 16을(를) 구합니다.

$$48+2x^{2}-8x=16\left(\sqrt{5}\right)^{2}$$

\sqrt{5}의 제곱은 5입니다.

$$48+2x^{2}-8x=16\times 5$$

16과(와) 5을(를) 곱하여 80(을)를 구합니다.

$$48+2x^{2}-8x=80$$

양쪽 모두에서 48을(를) 뺍니다.

$$2x^{2}-8x=80-48$$

80에서 48을(를) 빼고 32을(를) 구합니다.

$$2x^{2}-8x=32$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$\frac{2x^{2}-8x}{2}=\frac{32}{2}$$

2(으)로 나누면 2(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{2}\right)x=\frac{32}{2}$$

-8을(를) 2(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-4x=\frac{32}{2}$$

32을(를) 2(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-4x=16$$

x 항의 계수인 -4을(를) 2(으)로 나눠서 -2을(를) 구합니다. 그런 다음 -2의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=16+\left(-2\right)^{2}$$

-2을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-4x+4=16+4$$

16을(를) 4에 추가합니다.

$$x^{2}-4x+4=20$$

인수 x^{2}-4x+4. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-2\right)^{2}=20$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{20}$$

단순화합니다.

$$x-2=2\sqrt{5} x-2=-2\sqrt{5}$$

수식의 양쪽에 2을(를) 더합니다.

$$x=2\sqrt{5}+2 x=2-2\sqrt{5}$$