다음을 풀어보세요: 16x^2+64x+65=0

$$16 x ^ { 2 } + 64 x + 65 = 0$$

x에 대한 해 (complex solution)

$$x=-2+\frac{1}{4}i=-2+0.25i$$

$$x=-2-\frac{1}{4}i=-2-0.25i$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$16x^{2}+64x+65=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 16을(를) a로, 64을(를) b로, 65을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-64±\sqrt{64^{2}-4\times 16\times 65}}{2\times 16}$$

64을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-64±\sqrt{4096-4\times 16\times 65}}{2\times 16}$$

-4에 16을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-64±\sqrt{4096-64\times 65}}{2\times 16}$$

-64에 65을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-64±\sqrt{4096-4160}}{2\times 16}$$

4096을(를) -4160에 추가합니다.

$$x=\frac{-64±\sqrt{-64}}{2\times 16}$$

-64의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-64±8i}{2\times 16}$$

2에 16을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-64±8i}{32}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-64±8i}{32}을(를) 풉니다. -64을(를) 8i에 추가합니다.

$$x=\frac{-64+8i}{32}$$

-64+8i을(를) 32(으)로 나눕니다.

$$x=-2+\frac{1}{4}i$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-64±8i}{32}을(를) 풉니다. -64에서 8i을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-64-8i}{32}$$

-64-8i을(를) 32(으)로 나눕니다.

$$x=-2-\frac{1}{4}i$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=-2+\frac{1}{4}i x=-2-\frac{1}{4}i$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$16x^{2}+64x+65=0$$

수식의 양쪽에서 65을(를) 뺍니다.

$$16x^{2}+64x+65-65=-65$$

자신에서 65을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$16x^{2}+64x=-65$$

양쪽을 16(으)로 나눕니다.

$$\frac{16x^{2}+64x}{16}=-\frac{65}{16}$$

16(으)로 나누면 16(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{64}{16}x=-\frac{65}{16}$$

64을(를) 16(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+4x=-\frac{65}{16}$$

x 항의 계수인 4을(를) 2(으)로 나눠서 2을(를) 구합니다. 그런 다음 2의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+4x+2^{2}=-\frac{65}{16}+2^{2}$$

2을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+4x+4=-\frac{65}{16}+4$$

-\frac{65}{16}을(를) 4에 추가합니다.

$$x^{2}+4x+4=-\frac{1}{16}$$

인수 x^{2}+4x+4. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+2\right)^{2}=-\frac{1}{16}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+2\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{16}}$$

단순화합니다.

$$x+2=\frac{1}{4}i x+2=-\frac{1}{4}i$$

수식의 양쪽에서 2을(를) 뺍니다.

$$x=-2+\frac{1}{4}i x=-2-\frac{1}{4}i$$