다음을 풀어보세요: 16x^2+10x-9=0

$$16 x ^ { 2 } + 10 x - 9 = 0$$

x에 대한 해

$$x = -\frac{9}{8} = -1\frac{1}{8} = -1.125$$

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 16x^{2}+ax+bx-9(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=10 ab=16\left(-9\right)=-144$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b이(가) 양수이므로 양수는 음수보다 큰 절대값을 가집니다. 제품 -144을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$-1,144 -2,72 -3,48 -4,36 -6,24 -8,18 -9,16 -12,12$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$-1+144=143 -2+72=70 -3+48=45 -4+36=32 -6+24=18 -8+18=10 -9+16=7 -12+12=0$$

이 해답은 합계 10이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-8 b=18$$

16x^{2}+10x-9을(를) \left(16x^{2}-8x\right)+\left(18x-9\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(16x^{2}-8x\right)+\left(18x-9\right)$$

첫 번째 그룹 및 9에서 8x를 제한 합니다.

$$8x\left(2x-1\right)+9\left(2x-1\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 2x-1을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(2x-1\right)\left(8x+9\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 2x-1=0을 해결 하 고, 8x+9=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$16x^{2}+10x-9=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 16을(를) a로, 10을(를) b로, -9을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 16\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

10을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 16\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

-4에 16을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-64\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

-64에 -9을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+576}}{2\times 16}$$

100을(를) 576에 추가합니다.

$$x=\frac{-10±\sqrt{676}}{2\times 16}$$

676의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-10±26}{2\times 16}$$

2에 16을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-10±26}{32}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-10±26}{32}을(를) 풉니다. -10을(를) 26에 추가합니다.

$$x=\frac{16}{32}$$

16을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{16}{32}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=\frac{1}{2}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-10±26}{32}을(를) 풉니다. -10에서 26을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{36}{32}$$

4을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-36}{32}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{9}{8}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$16x^{2}+10x-9=0$$

수식의 양쪽에 9을(를) 더합니다.

$$16x^{2}+10x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

자신에서 -9을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$16x^{2}+10x=-\left(-9\right)$$

0에서 -9을(를) 뺍니다.

$$16x^{2}+10x=9$$

양쪽을 16(으)로 나눕니다.

$$\frac{16x^{2}+10x}{16}=\frac{9}{16}$$

16(으)로 나누면 16(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{10}{16}x=\frac{9}{16}$$

2을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{10}{16}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x=\frac{9}{16}$$

x 항의 계수인 \frac{5}{8}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{5}{16}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{5}{16}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\left(\frac{5}{16}\right)^{2}=\frac{9}{16}+\left(\frac{5}{16}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{5}{16}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}=\frac{9}{16}+\frac{25}{256}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{9}{16}을(를) \frac{25}{256}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}=\frac{169}{256}$$

인수 x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{5}{16}\right)^{2}=\frac{169}{256}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{256}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{5}{16}=\frac{13}{16} x+\frac{5}{16}=-\frac{13}{16}$$

수식의 양쪽에서 \frac{5}{16}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$