다음을 풀어보세요: 15x^2-525x-4500=0

$$15 x ^ { 2 } - 525 x - 4500 = 0$$

x에 대한 해

$$x = \frac{5 \sqrt{97} + 35}{2} \approx 42.122144504$$

$$x=\frac{35-5\sqrt{97}}{2}\approx -7.122144504$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$15x^{2}-525x-4500=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 15을(를) a로, -525을(를) b로, -4500을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-525\right)±\sqrt{\left(-525\right)^{2}-4\times 15\left(-4500\right)}}{2\times 15}$$

-525을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-525\right)±\sqrt{275625-4\times 15\left(-4500\right)}}{2\times 15}$$

-4에 15을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-525\right)±\sqrt{275625-60\left(-4500\right)}}{2\times 15}$$

-60에 -4500을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-525\right)±\sqrt{275625+270000}}{2\times 15}$$

275625을(를) 270000에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-525\right)±\sqrt{545625}}{2\times 15}$$

545625의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-525\right)±75\sqrt{97}}{2\times 15}$$

-525의 반대는 525입니다.

$$x=\frac{525±75\sqrt{97}}{2\times 15}$$

2에 15을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{525±75\sqrt{97}}{30}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{525±75\sqrt{97}}{30}을(를) 풉니다. 525을(를) 75\sqrt{97}에 추가합니다.

$$x=\frac{75\sqrt{97}+525}{30}$$

525+75\sqrt{97}을(를) 30(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{5\sqrt{97}+35}{2}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{525±75\sqrt{97}}{30}을(를) 풉니다. 525에서 75\sqrt{97}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{525-75\sqrt{97}}{30}$$

525-75\sqrt{97}을(를) 30(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{35-5\sqrt{97}}{2}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{5\sqrt{97}+35}{2} x=\frac{35-5\sqrt{97}}{2}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$15x^{2}-525x-4500=0$$

수식의 양쪽에 4500을(를) 더합니다.

$$15x^{2}-525x-4500-\left(-4500\right)=-\left(-4500\right)$$

자신에서 -4500을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$15x^{2}-525x=-\left(-4500\right)$$

0에서 -4500을(를) 뺍니다.

$$15x^{2}-525x=4500$$

양쪽을 15(으)로 나눕니다.

$$\frac{15x^{2}-525x}{15}=\frac{4500}{15}$$

15(으)로 나누면 15(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\left(-\frac{525}{15}\right)x=\frac{4500}{15}$$

-525을(를) 15(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-35x=\frac{4500}{15}$$

4500을(를) 15(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-35x=300$$

x 항의 계수인 -35을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{35}{2}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{35}{2}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-35x+\left(-\frac{35}{2}\right)^{2}=300+\left(-\frac{35}{2}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{35}{2}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-35x+\frac{1225}{4}=300+\frac{1225}{4}$$

300을(를) \frac{1225}{4}에 추가합니다.

$$x^{2}-35x+\frac{1225}{4}=\frac{2425}{4}$$

인수 x^{2}-35x+\frac{1225}{4}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{35}{2}\right)^{2}=\frac{2425}{4}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{35}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2425}{4}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{35}{2}=\frac{5\sqrt{97}}{2} x-\frac{35}{2}=-\frac{5\sqrt{97}}{2}$$

수식의 양쪽에 \frac{35}{2}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{5\sqrt{97}+35}{2} x=\frac{35-5\sqrt{97}}{2}$$