다음을 풀어보세요: 15x^2+11x+2=0

$$15 x ^ { 2 } + 11 x + 2 = 0$$

x에 대한 해

$$x=-\frac{2}{5}=-0.4$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 15x^{2}+ax+bx+2(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=11 ab=15\times 2=30$$

ab은 양수 이기 때문에 a 및 b는 동일한 기호를가지고 있습니다. a+b은 양수 이기 때문에 a 및 b 모두 양수입니다. 제품 30을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

이 해답은 합계 11이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=5 b=6$$

15x^{2}+11x+2을(를) \left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right)$$

첫 번째 그룹 및 2에서 5x를 제한 합니다.

$$5x\left(3x+1\right)+2\left(3x+1\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 3x+1을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(3x+1\right)\left(5x+2\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 3x+1=0을 해결 하 고, 5x+2=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 15을(를) a로, 11을(를) b로, 2을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

11을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

-4에 15을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-60\times 2}}{2\times 15}$$

-60에 2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-120}}{2\times 15}$$

121을(를) -120에 추가합니다.

$$x=\frac{-11±\sqrt{1}}{2\times 15}$$

1의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-11±1}{2\times 15}$$

2에 15을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-11±1}{30}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-11±1}{30}을(를) 풉니다. -11을(를) 1에 추가합니다.

$$x=-\frac{10}{30}$$

10을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-10}{30}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{1}{3}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-11±1}{30}을(를) 풉니다. -11에서 1을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{12}{30}$$

6을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-12}{30}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{2}{5}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

수식의 양쪽에서 2을(를) 뺍니다.

$$15x^{2}+11x+2-2=-2$$

자신에서 2을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$15x^{2}+11x=-2$$

양쪽을 15(으)로 나눕니다.

$$\frac{15x^{2}+11x}{15}=-\frac{2}{15}$$

15(으)로 나누면 15(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x=-\frac{2}{15}$$

x 항의 계수인 \frac{11}{15}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{11}{30}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{11}{30}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}=-\frac{2}{15}+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{11}{30}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=-\frac{2}{15}+\frac{121}{900}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{2}{15}을(를) \frac{121}{900}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=\frac{1}{900}$$

인수 x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}=\frac{1}{900}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{900}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{11}{30}=\frac{1}{30} x+\frac{11}{30}=-\frac{1}{30}$$

수식의 양쪽에서 \frac{11}{30}을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$