다음을 풀어보세요: 132x^2+16x-1=0

$$132 x ^ { 2 } + 16 x - 1 = 0$$

x에 대한 해

$$x=-\frac{1}{6}\approx -0.166666667$$

$$x=\frac{1}{22}\approx 0.045454545$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 132x^{2}+ax+bx-1(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=16 ab=132\left(-1\right)=-132$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b이(가) 양수이므로 양수는 음수보다 큰 절대값을 가집니다. 제품 -132을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$-1,132 -2,66 -3,44 -4,33 -6,22 -11,12$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$-1+132=131 -2+66=64 -3+44=41 -4+33=29 -6+22=16 -11+12=1$$

이 해답은 합계 16이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-6 b=22$$

132x^{2}+16x-1을(를) \left(132x^{2}-6x\right)+\left(22x-1\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(132x^{2}-6x\right)+\left(22x-1\right)$$

인수분해 132x^{2}-6x에서 6x를 뽑아냅니다.

$$6x\left(22x-1\right)+22x-1$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 22x-1을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(22x-1\right)\left(6x+1\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 22x-1=0을 해결 하 고, 6x+1=0.

$$x=\frac{1}{22} x=-\frac{1}{6}$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$132x^{2}+16x-1=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 132을(를) a로, 16을(를) b로, -1을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 132\left(-1\right)}}{2\times 132}$$

16을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 132\left(-1\right)}}{2\times 132}$$

-4에 132을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-528\left(-1\right)}}{2\times 132}$$

-528에 -1을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+528}}{2\times 132}$$

256을(를) 528에 추가합니다.

$$x=\frac{-16±\sqrt{784}}{2\times 132}$$

784의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-16±28}{2\times 132}$$

2에 132을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-16±28}{264}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-16±28}{264}을(를) 풉니다. -16을(를) 28에 추가합니다.

$$x=\frac{12}{264}$$

12을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{12}{264}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=\frac{1}{22}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-16±28}{264}을(를) 풉니다. -16에서 28을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{44}{264}$$

44을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-44}{264}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{1}{6}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{1}{22} x=-\frac{1}{6}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$132x^{2}+16x-1=0$$

수식의 양쪽에 1을(를) 더합니다.

$$132x^{2}+16x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

자신에서 -1을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$132x^{2}+16x=-\left(-1\right)$$

0에서 -1을(를) 뺍니다.

$$132x^{2}+16x=1$$

양쪽을 132(으)로 나눕니다.

$$\frac{132x^{2}+16x}{132}=\frac{1}{132}$$

132(으)로 나누면 132(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{16}{132}x=\frac{1}{132}$$

4을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{16}{132}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{4}{33}x=\frac{1}{132}$$

x 항의 계수인 \frac{4}{33}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{2}{33}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{2}{33}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+\frac{4}{33}x+\left(\frac{2}{33}\right)^{2}=\frac{1}{132}+\left(\frac{2}{33}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{2}{33}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+\frac{4}{33}x+\frac{4}{1089}=\frac{1}{132}+\frac{4}{1089}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{1}{132}을(를) \frac{4}{1089}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{4}{33}x+\frac{4}{1089}=\frac{49}{4356}$$

인수 x^{2}+\frac{4}{33}x+\frac{4}{1089}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{2}{33}\right)^{2}=\frac{49}{4356}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{33}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4356}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{2}{33}=\frac{7}{66} x+\frac{2}{33}=-\frac{7}{66}$$

수식의 양쪽에서 \frac{2}{33}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{1}{22} x=-\frac{1}{6}$$