다음을 풀어보세요: 13x^2-5x-20=0

$$13 x ^ { 2 } - 5 x - 20 = 0$$

x에 대한 해

$$x = \frac{\sqrt{1065} + 5}{26} \approx 1.447474529$$

$$x=\frac{5-\sqrt{1065}}{26}\approx -1.062859144$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$13x^{2}-5x-20=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 13을(를) a로, -5을(를) b로, -20을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 13\left(-20\right)}}{2\times 13}$$

-5을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 13\left(-20\right)}}{2\times 13}$$

-4에 13을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-52\left(-20\right)}}{2\times 13}$$

-52에 -20을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+1040}}{2\times 13}$$

25을(를) 1040에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{1065}}{2\times 13}$$

-5의 반대는 5입니다.

$$x=\frac{5±\sqrt{1065}}{2\times 13}$$

2에 13을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{5±\sqrt{1065}}{26}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{5±\sqrt{1065}}{26}을(를) 풉니다. 5을(를) \sqrt{1065}에 추가합니다.

$$x=\frac{\sqrt{1065}+5}{26}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{5±\sqrt{1065}}{26}을(를) 풉니다. 5에서 \sqrt{1065}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{5-\sqrt{1065}}{26}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{\sqrt{1065}+5}{26} x=\frac{5-\sqrt{1065}}{26}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$13x^{2}-5x-20=0$$

수식의 양쪽에 20을(를) 더합니다.

$$13x^{2}-5x-20-\left(-20\right)=-\left(-20\right)$$

자신에서 -20을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$13x^{2}-5x=-\left(-20\right)$$

0에서 -20을(를) 뺍니다.

$$13x^{2}-5x=20$$

양쪽을 13(으)로 나눕니다.

$$\frac{13x^{2}-5x}{13}=\frac{20}{13}$$

13(으)로 나누면 13(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}-\frac{5}{13}x=\frac{20}{13}$$

x 항의 계수인 -\frac{5}{13}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{5}{26}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{5}{26}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{5}{13}x+\left(-\frac{5}{26}\right)^{2}=\frac{20}{13}+\left(-\frac{5}{26}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{5}{26}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{5}{13}x+\frac{25}{676}=\frac{20}{13}+\frac{25}{676}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{20}{13}을(를) \frac{25}{676}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{5}{13}x+\frac{25}{676}=\frac{1065}{676}$$

인수 x^{2}-\frac{5}{13}x+\frac{25}{676}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{5}{26}\right)^{2}=\frac{1065}{676}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{26}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1065}{676}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{5}{26}=\frac{\sqrt{1065}}{26} x-\frac{5}{26}=-\frac{\sqrt{1065}}{26}$$

수식의 양쪽에 \frac{5}{26}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{\sqrt{1065}+5}{26} x=\frac{5-\sqrt{1065}}{26}$$