다음을 풀어보세요: 13a^2-12a-9=0

$$13 a ^ { 2 } - 12 a - 9 = 0$$

a에 대한 해

$$a = \frac{3 \sqrt{17} + 6}{13} \approx 1.413024375$$

$$a=\frac{6-3\sqrt{17}}{13}\approx -0.489947452$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$13a^{2}-12a-9=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 13을(를) a로, -12을(를) b로, -9을(를) c로 치환합니다.

$$a=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 13\left(-9\right)}}{2\times 13}$$

-12을(를) 제곱합니다.

$$a=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 13\left(-9\right)}}{2\times 13}$$

-4에 13을(를) 곱합니다.

$$a=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-52\left(-9\right)}}{2\times 13}$$

-52에 -9을(를) 곱합니다.

$$a=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+468}}{2\times 13}$$

144을(를) 468에 추가합니다.

$$a=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{612}}{2\times 13}$$

612의 제곱근을 구합니다.

$$a=\frac{-\left(-12\right)±6\sqrt{17}}{2\times 13}$$

-12의 반대는 12입니다.

$$a=\frac{12±6\sqrt{17}}{2\times 13}$$

2에 13을(를) 곱합니다.

$$a=\frac{12±6\sqrt{17}}{26}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 a=\frac{12±6\sqrt{17}}{26}을(를) 풉니다. 12을(를) 6\sqrt{17}에 추가합니다.

$$a=\frac{6\sqrt{17}+12}{26}$$

12+6\sqrt{17}을(를) 26(으)로 나눕니다.

$$a=\frac{3\sqrt{17}+6}{13}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 a=\frac{12±6\sqrt{17}}{26}을(를) 풉니다. 12에서 6\sqrt{17}을(를) 뺍니다.

$$a=\frac{12-6\sqrt{17}}{26}$$

12-6\sqrt{17}을(를) 26(으)로 나눕니다.

$$a=\frac{6-3\sqrt{17}}{13}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$a=\frac{3\sqrt{17}+6}{13} a=\frac{6-3\sqrt{17}}{13}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$13a^{2}-12a-9=0$$

수식의 양쪽에 9을(를) 더합니다.

$$13a^{2}-12a-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

자신에서 -9을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$13a^{2}-12a=-\left(-9\right)$$

0에서 -9을(를) 뺍니다.

$$13a^{2}-12a=9$$

양쪽을 13(으)로 나눕니다.

$$\frac{13a^{2}-12a}{13}=\frac{9}{13}$$

13(으)로 나누면 13(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$a^{2}-\frac{12}{13}a=\frac{9}{13}$$

x 항의 계수인 -\frac{12}{13}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{6}{13}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{6}{13}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$a^{2}-\frac{12}{13}a+\left(-\frac{6}{13}\right)^{2}=\frac{9}{13}+\left(-\frac{6}{13}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{6}{13}을(를) 제곱합니다.

$$a^{2}-\frac{12}{13}a+\frac{36}{169}=\frac{9}{13}+\frac{36}{169}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{9}{13}을(를) \frac{36}{169}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$a^{2}-\frac{12}{13}a+\frac{36}{169}=\frac{153}{169}$$

인수 a^{2}-\frac{12}{13}a+\frac{36}{169}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(a-\frac{6}{13}\right)^{2}=\frac{153}{169}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(a-\frac{6}{13}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{153}{169}}$$

단순화합니다.

$$a-\frac{6}{13}=\frac{3\sqrt{17}}{13} a-\frac{6}{13}=-\frac{3\sqrt{17}}{13}$$

수식의 양쪽에 \frac{6}{13}을(를) 더합니다.

$$a=\frac{3\sqrt{17}+6}{13} a=\frac{6-3\sqrt{17}}{13}$$