다음을 풀어보세요: 125x^2-11x+10=0

$$125 x ^ { 2 } - 11 x + 10 = 0$$

x에 대한 해 (complex solution)

$$x=\frac{11+\sqrt{4879}i}{250}\approx 0.044+0.279399356i$$

$$x=\frac{-\sqrt{4879}i+11}{250}\approx 0.044-0.279399356i$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$125x^{2}-11x+10=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 125을(를) a로, -11을(를) b로, 10을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 125\times 10}}{2\times 125}$$

-11을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 125\times 10}}{2\times 125}$$

-4에 125을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-500\times 10}}{2\times 125}$$

-500에 10을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-5000}}{2\times 125}$$

121을(를) -5000에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{-4879}}{2\times 125}$$

-4879의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{4879}i}{2\times 125}$$

-11의 반대는 11입니다.

$$x=\frac{11±\sqrt{4879}i}{2\times 125}$$

2에 125을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{11±\sqrt{4879}i}{250}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{11±\sqrt{4879}i}{250}을(를) 풉니다. 11을(를) i\sqrt{4879}에 추가합니다.

$$x=\frac{11+\sqrt{4879}i}{250}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{11±\sqrt{4879}i}{250}을(를) 풉니다. 11에서 i\sqrt{4879}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-\sqrt{4879}i+11}{250}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{11+\sqrt{4879}i}{250} x=\frac{-\sqrt{4879}i+11}{250}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$125x^{2}-11x+10=0$$

수식의 양쪽에서 10을(를) 뺍니다.

$$125x^{2}-11x+10-10=-10$$

자신에서 10을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$125x^{2}-11x=-10$$

양쪽을 125(으)로 나눕니다.

$$\frac{125x^{2}-11x}{125}=-\frac{10}{125}$$

125(으)로 나누면 125(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}-\frac{11}{125}x=-\frac{10}{125}$$

5을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-10}{125}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{11}{125}x=-\frac{2}{25}$$

x 항의 계수인 -\frac{11}{125}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{11}{250}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{11}{250}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{11}{125}x+\left(-\frac{11}{250}\right)^{2}=-\frac{2}{25}+\left(-\frac{11}{250}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{11}{250}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{11}{125}x+\frac{121}{62500}=-\frac{2}{25}+\frac{121}{62500}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{2}{25}을(를) \frac{121}{62500}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{11}{125}x+\frac{121}{62500}=-\frac{4879}{62500}$$

인수 x^{2}-\frac{11}{125}x+\frac{121}{62500}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{11}{250}\right)^{2}=-\frac{4879}{62500}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{250}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{4879}{62500}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{11}{250}=\frac{\sqrt{4879}i}{250} x-\frac{11}{250}=-\frac{\sqrt{4879}i}{250}$$

수식의 양쪽에 \frac{11}{250}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{11+\sqrt{4879}i}{250} x=\frac{-\sqrt{4879}i+11}{250}$$