다음을 풀어보세요: 120x^2+8000x-92000=0

$$120 { x }^{ 2 } +8000x-92000=0$$

x에 대한 해

$$x = -\frac{230}{3} = -76\frac{2}{3} \approx -76.666666667$$

$$x=10$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

양쪽을 40(으)로 나눕니다.

$$3x^{2}+200x-2300=0$$

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 3x^{2}+ax+bx-2300(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=200 ab=3\left(-2300\right)=-6900$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b이(가) 양수이므로 양수는 음수보다 큰 절대값을 가집니다. 제품 -6900을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$-1,6900 -2,3450 -3,2300 -4,1725 -5,1380 -6,1150 -10,690 -12,575 -15,460 -20,345 -23,300 -25,276 -30,230 -46,150 -50,138 -60,115 -69,100 -75,92$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$-1+6900=6899 -2+3450=3448 -3+2300=2297 -4+1725=1721 -5+1380=1375 -6+1150=1144 -10+690=680 -12+575=563 -15+460=445 -20+345=325 -23+300=277 -25+276=251 -30+230=200 -46+150=104 -50+138=88 -60+115=55 -69+100=31 -75+92=17$$

이 해답은 합계 200이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-30 b=230$$

3x^{2}+200x-2300을(를) \left(3x^{2}-30x\right)+\left(230x-2300\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(3x^{2}-30x\right)+\left(230x-2300\right)$$

첫 번째 그룹 및 230에서 3x를 제한 합니다.

$$3x\left(x-10\right)+230\left(x-10\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 x-10을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(x-10\right)\left(3x+230\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 x-10=0을 해결 하 고, 3x+230=0.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$120x^{2}+8000x-92000=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 120을(를) a로, 8000을(를) b로, -92000을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{8000^{2}-4\times 120\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

8000을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000-4\times 120\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

-4에 120을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000-480\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

-480에 -92000을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000+44160000}}{2\times 120}$$

64000000을(를) 44160000에 추가합니다.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{108160000}}{2\times 120}$$

108160000의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-8000±10400}{2\times 120}$$

2에 120을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-8000±10400}{240}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-8000±10400}{240}을(를) 풉니다. -8000을(를) 10400에 추가합니다.

$$x=\frac{2400}{240}$$

2400을(를) 240(으)로 나눕니다.

$$x=10$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-8000±10400}{240}을(를) 풉니다. -8000에서 10400을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{18400}{240}$$

80을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-18400}{240}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{230}{3}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$120x^{2}+8000x-92000=0$$

수식의 양쪽에 92000을(를) 더합니다.

$$120x^{2}+8000x-92000-\left(-92000\right)=-\left(-92000\right)$$

자신에서 -92000을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$120x^{2}+8000x=-\left(-92000\right)$$

0에서 -92000을(를) 뺍니다.

$$120x^{2}+8000x=92000$$

양쪽을 120(으)로 나눕니다.

$$\frac{120x^{2}+8000x}{120}=\frac{92000}{120}$$

120(으)로 나누면 120(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{8000}{120}x=\frac{92000}{120}$$

40을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{8000}{120}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{92000}{120}$$

40을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{92000}{120}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{2300}{3}$$

x 항의 계수인 \frac{200}{3}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{100}{3}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{100}{3}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{2300}{3}+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{100}{3}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{2300}{3}+\frac{10000}{9}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{2300}{3}을(를) \frac{10000}{9}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{16900}{9}$$

인수 x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{16900}{9}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16900}{9}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{100}{3}=\frac{130}{3} x+\frac{100}{3}=-\frac{130}{3}$$

수식의 양쪽에서 \frac{100}{3}을(를) 뺍니다.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$