다음을 풀어보세요: 12x^2-320x+1600=0

$$12 x ^ { 2 } - 320 x + 1600 = 0$$

x에 대한 해

$$x = \frac{20}{3} = 6\frac{2}{3} \approx 6.666666667$$

$$x=20$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$12x^{2}-320x+1600=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 12을(를) a로, -320을(를) b로, 1600을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-320\right)±\sqrt{\left(-320\right)^{2}-4\times 12\times 1600}}{2\times 12}$$

-320을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-320\right)±\sqrt{102400-4\times 12\times 1600}}{2\times 12}$$

-4에 12을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-320\right)±\sqrt{102400-48\times 1600}}{2\times 12}$$

-48에 1600을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-320\right)±\sqrt{102400-76800}}{2\times 12}$$

102400을(를) -76800에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-320\right)±\sqrt{25600}}{2\times 12}$$

25600의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-320\right)±160}{2\times 12}$$

-320의 반대는 320입니다.

$$x=\frac{320±160}{2\times 12}$$

2에 12을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{320±160}{24}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{320±160}{24}을(를) 풉니다. 320을(를) 160에 추가합니다.

$$x=\frac{480}{24}$$

480을(를) 24(으)로 나눕니다.

$$x=20$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{320±160}{24}을(를) 풉니다. 320에서 160을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{160}{24}$$

8을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{160}{24}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=\frac{20}{3}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=20 x=\frac{20}{3}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$12x^{2}-320x+1600=0$$

수식의 양쪽에서 1600을(를) 뺍니다.

$$12x^{2}-320x+1600-1600=-1600$$

자신에서 1600을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$12x^{2}-320x=-1600$$

양쪽을 12(으)로 나눕니다.

$$\frac{12x^{2}-320x}{12}=-\frac{1600}{12}$$

12(으)로 나누면 12(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\left(-\frac{320}{12}\right)x=-\frac{1600}{12}$$

4을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-320}{12}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{80}{3}x=-\frac{1600}{12}$$

4을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-1600}{12}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{80}{3}x=-\frac{400}{3}$$

x 항의 계수인 -\frac{80}{3}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{40}{3}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{40}{3}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{80}{3}x+\left(-\frac{40}{3}\right)^{2}=-\frac{400}{3}+\left(-\frac{40}{3}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{40}{3}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{80}{3}x+\frac{1600}{9}=-\frac{400}{3}+\frac{1600}{9}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{400}{3}을(를) \frac{1600}{9}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{80}{3}x+\frac{1600}{9}=\frac{400}{9}$$

x^{2}-\frac{80}{3}x+\frac{1600}{9}을(를) 인수 분해합니다. 일반적으로 x^{2}+bx+c가 완전 제곱일 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}로 인수 분해될 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{40}{3}\right)^{2}=\frac{400}{9}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{40}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{400}{9}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{40}{3}=\frac{20}{3} x-\frac{40}{3}=-\frac{20}{3}$$

수식의 양쪽에 \frac{40}{3}을(를) 더합니다.

$$x=20 x=\frac{20}{3}$$