다음을 풀어보세요: 12x^2-2x+5=0

$$12 x ^ { 2 } - 2 x + 5 = 0$$

x에 대한 해 (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{59}i}{12}\approx 0.083333333+0.640095479i$$

$$x=\frac{-\sqrt{59}i+1}{12}\approx 0.083333333-0.640095479i$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$12x^{2}-2x+5=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 12을(를) a로, -2을(를) b로, 5을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

-2을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

-4에 12을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-48\times 5}}{2\times 12}$$

-48에 5을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-240}}{2\times 12}$$

4을(를) -240에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-236}}{2\times 12}$$

-236의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{59}i}{2\times 12}$$

-2의 반대는 2입니다.

$$x=\frac{2±2\sqrt{59}i}{2\times 12}$$

2에 12을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{2±2\sqrt{59}i}{24}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{2±2\sqrt{59}i}{24}을(를) 풉니다. 2을(를) 2i\sqrt{59}에 추가합니다.

$$x=\frac{2+2\sqrt{59}i}{24}$$

2+2i\sqrt{59}을(를) 24(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1+\sqrt{59}i}{12}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{2±2\sqrt{59}i}{24}을(를) 풉니다. 2에서 2i\sqrt{59}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-2\sqrt{59}i+2}{24}$$

2-2i\sqrt{59}을(를) 24(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{-\sqrt{59}i+1}{12}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{1+\sqrt{59}i}{12} x=\frac{-\sqrt{59}i+1}{12}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$12x^{2}-2x+5=0$$

수식의 양쪽에서 5을(를) 뺍니다.

$$12x^{2}-2x+5-5=-5$$

자신에서 5을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$12x^{2}-2x=-5$$

양쪽을 12(으)로 나눕니다.

$$\frac{12x^{2}-2x}{12}=-\frac{5}{12}$$

12(으)로 나누면 12(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{12}\right)x=-\frac{5}{12}$$

2을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-2}{12}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=-\frac{5}{12}$$

x 항의 계수인 -\frac{1}{6}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{1}{12}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{1}{12}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}=-\frac{5}{12}+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{1}{12}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=-\frac{5}{12}+\frac{1}{144}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{5}{12}을(를) \frac{1}{144}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=-\frac{59}{144}$$

인수 x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}=-\frac{59}{144}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{59}{144}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{1}{12}=\frac{\sqrt{59}i}{12} x-\frac{1}{12}=-\frac{\sqrt{59}i}{12}$$

수식의 양쪽에 \frac{1}{12}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{1+\sqrt{59}i}{12} x=\frac{-\sqrt{59}i+1}{12}$$