다음을 풀어보세요: 12(n-4)-30=n^2-9n+12

$$12 ( n - 4 ) - 30 = n ^ { 2 } - 9 n + 12$$

n에 대한 해

$$n=6$$

$$n=15$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

분배 법칙을 사용하여 12에 n-4(을)를 곱합니다.

$$12n-48-30=n^{2}-9n+12$$

-48에서 30을(를) 빼고 -78을(를) 구합니다.

$$12n-78=n^{2}-9n+12$$

양쪽 모두에서 n^{2}을(를) 뺍니다.

$$12n-78-n^{2}=-9n+12$$

양쪽에 9n을(를) 더합니다.

$$12n-78-n^{2}+9n=12$$

12n과(와) 9n을(를) 결합하여 21n(을)를 구합니다.

$$21n-78-n^{2}=12$$

양쪽 모두에서 12을(를) 뺍니다.

$$21n-78-n^{2}-12=0$$

-78에서 12을(를) 빼고 -90을(를) 구합니다.

$$21n-90-n^{2}=0$$

다항식을 표준 형식으로 재정렬합니다. 항을 최고 곱에서 최저 곱의 순으로 배치합니다.

$$-n^{2}+21n-90=0$$

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 -n^{2}+an+bn-90(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=21 ab=-\left(-90\right)=90$$

ab은 양수 이기 때문에 a 및 b는 동일한 기호를가지고 있습니다. a+b은 양수 이기 때문에 a 및 b 모두 양수입니다. 제품 90을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$1,90 2,45 3,30 5,18 6,15 9,10$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$1+90=91 2+45=47 3+30=33 5+18=23 6+15=21 9+10=19$$

이 해답은 합계 21이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=15 b=6$$

-n^{2}+21n-90을(를) \left(-n^{2}+15n\right)+\left(6n-90\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(-n^{2}+15n\right)+\left(6n-90\right)$$

첫 번째 그룹 및 6에서 -n를 제한 합니다.

$$-n\left(n-15\right)+6\left(n-15\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 n-15을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(n-15\right)\left(-n+6\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 n-15=0을 해결 하 고, -n+6=0.

$$n=15 n=6$$

근의 공식을 사용한 단계

분배 법칙을 사용하여 12에 n-4(을)를 곱합니다.

$$12n-48-30=n^{2}-9n+12$$

-48에서 30을(를) 빼고 -78을(를) 구합니다.

$$12n-78=n^{2}-9n+12$$

양쪽 모두에서 n^{2}을(를) 뺍니다.

$$12n-78-n^{2}=-9n+12$$

양쪽에 9n을(를) 더합니다.

$$12n-78-n^{2}+9n=12$$

12n과(와) 9n을(를) 결합하여 21n(을)를 구합니다.

$$21n-78-n^{2}=12$$

양쪽 모두에서 12을(를) 뺍니다.

$$21n-78-n^{2}-12=0$$

-78에서 12을(를) 빼고 -90을(를) 구합니다.

$$21n-90-n^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$-n^{2}+21n-90=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 -1을(를) a로, 21을(를) b로, -90을(를) c로 치환합니다.

$$n=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\left(-1\right)\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

21을(를) 제곱합니다.

$$n=\frac{-21±\sqrt{441-4\left(-1\right)\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

-4에 -1을(를) 곱합니다.

$$n=\frac{-21±\sqrt{441+4\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

4에 -90을(를) 곱합니다.

$$n=\frac{-21±\sqrt{441-360}}{2\left(-1\right)}$$

441을(를) -360에 추가합니다.

$$n=\frac{-21±\sqrt{81}}{2\left(-1\right)}$$

81의 제곱근을 구합니다.

$$n=\frac{-21±9}{2\left(-1\right)}$$

2에 -1을(를) 곱합니다.

$$n=\frac{-21±9}{-2}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 n=\frac{-21±9}{-2}을(를) 풉니다. -21을(를) 9에 추가합니다.

$$n=-\frac{12}{-2}$$

-12을(를) -2(으)로 나눕니다.

$$n=6$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 n=\frac{-21±9}{-2}을(를) 풉니다. -21에서 9을(를) 뺍니다.

$$n=-\frac{30}{-2}$$

-30을(를) -2(으)로 나눕니다.

$$n=15$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$n=6 n=15$$

제곱 완성 단계

분배 법칙을 사용하여 12에 n-4(을)를 곱합니다.

$$12n-48-30=n^{2}-9n+12$$

-48에서 30을(를) 빼고 -78을(를) 구합니다.

$$12n-78=n^{2}-9n+12$$

양쪽 모두에서 n^{2}을(를) 뺍니다.

$$12n-78-n^{2}=-9n+12$$

양쪽에 9n을(를) 더합니다.

$$12n-78-n^{2}+9n=12$$

12n과(와) 9n을(를) 결합하여 21n(을)를 구합니다.

$$21n-78-n^{2}=12$$

양쪽에 78을(를) 더합니다.

$$21n-n^{2}=12+78$$

12과(와) 78을(를) 더하여 90을(를) 구합니다.

$$21n-n^{2}=90$$

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$-n^{2}+21n=90$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$\frac{-n^{2}+21n}{-1}=\frac{90}{-1}$$

-1(으)로 나누면 -1(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$n^{2}+\frac{21}{-1}n=\frac{90}{-1}$$

21을(를) -1(으)로 나눕니다.

$$n^{2}-21n=\frac{90}{-1}$$

90을(를) -1(으)로 나눕니다.

$$n^{2}-21n=-90$$

x 항의 계수인 -21을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{21}{2}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{21}{2}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$n^{2}-21n+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}=-90+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{21}{2}을(를) 제곱합니다.

$$n^{2}-21n+\frac{441}{4}=-90+\frac{441}{4}$$

-90을(를) \frac{441}{4}에 추가합니다.

$$n^{2}-21n+\frac{441}{4}=\frac{81}{4}$$

인수 n^{2}-21n+\frac{441}{4}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(n-\frac{21}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(n-\frac{21}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

단순화합니다.

$$n-\frac{21}{2}=\frac{9}{2} n-\frac{21}{2}=-\frac{9}{2}$$

수식의 양쪽에 \frac{21}{2}을(를) 더합니다.

$$n=15 n=6$$