다음을 풀어보세요: 12x^2-88x+400=0

$$12 { x }^{ 2 } -88x+400 = 0$$

x에 대한 해 (complex solution)

$$x=\frac{11+\sqrt{179}i}{3}\approx 3.666666667+4.459696053i$$

$$x=\frac{-\sqrt{179}i+11}{3}\approx 3.666666667-4.459696053i$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$12x^{2}-88x+400=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 12을(를) a로, -88을(를) b로, 400을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-88\right)±\sqrt{\left(-88\right)^{2}-4\times 12\times 400}}{2\times 12}$$

-88을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-88\right)±\sqrt{7744-4\times 12\times 400}}{2\times 12}$$

-4에 12을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-88\right)±\sqrt{7744-48\times 400}}{2\times 12}$$

-48에 400을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-88\right)±\sqrt{7744-19200}}{2\times 12}$$

7744을(를) -19200에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-88\right)±\sqrt{-11456}}{2\times 12}$$

-11456의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-88\right)±8\sqrt{179}i}{2\times 12}$$

-88의 반대는 88입니다.

$$x=\frac{88±8\sqrt{179}i}{2\times 12}$$

2에 12을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{88±8\sqrt{179}i}{24}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{88±8\sqrt{179}i}{24}을(를) 풉니다. 88을(를) 8i\sqrt{179}에 추가합니다.

$$x=\frac{88+8\sqrt{179}i}{24}$$

88+8i\sqrt{179}을(를) 24(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{11+\sqrt{179}i}{3}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{88±8\sqrt{179}i}{24}을(를) 풉니다. 88에서 8i\sqrt{179}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-8\sqrt{179}i+88}{24}$$

88-8i\sqrt{179}을(를) 24(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{-\sqrt{179}i+11}{3}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{11+\sqrt{179}i}{3} x=\frac{-\sqrt{179}i+11}{3}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$12x^{2}-88x+400=0$$

수식의 양쪽에서 400을(를) 뺍니다.

$$12x^{2}-88x+400-400=-400$$

자신에서 400을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$12x^{2}-88x=-400$$

양쪽을 12(으)로 나눕니다.

$$\frac{12x^{2}-88x}{12}=-\frac{400}{12}$$

12(으)로 나누면 12(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\left(-\frac{88}{12}\right)x=-\frac{400}{12}$$

4을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-88}{12}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x=-\frac{400}{12}$$

4을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-400}{12}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x=-\frac{100}{3}$$

x 항의 계수인 -\frac{22}{3}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{11}{3}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{11}{3}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}=-\frac{100}{3}+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{11}{3}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=-\frac{100}{3}+\frac{121}{9}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{100}{3}을(를) \frac{121}{9}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=-\frac{179}{9}$$

인수 x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}=-\frac{179}{9}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{179}{9}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{11}{3}=\frac{\sqrt{179}i}{3} x-\frac{11}{3}=-\frac{\sqrt{179}i}{3}$$

수식의 양쪽에 \frac{11}{3}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{11+\sqrt{179}i}{3} x=\frac{-\sqrt{179}i+11}{3}$$