다음을 풀어보세요: 12x^2+32x+5=0

$$12 { x }^{ 2 } +32x+5=0$$

x에 대한 해

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=-\frac{1}{6}\approx -0.166666667$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 12x^{2}+ax+bx+5(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=32 ab=12\times 5=60$$

ab은 양수 이기 때문에 a 및 b는 동일한 기호를가지고 있습니다. a+b은 양수 이기 때문에 a 및 b 모두 양수입니다. 제품 60을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$1,60 2,30 3,20 4,15 5,12 6,10$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$1+60=61 2+30=32 3+20=23 4+15=19 5+12=17 6+10=16$$

이 해답은 합계 32이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=2 b=30$$

12x^{2}+32x+5을(를) \left(12x^{2}+2x\right)+\left(30x+5\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(12x^{2}+2x\right)+\left(30x+5\right)$$

두 번째 그룹에서 5 및 첫 번째 그룹에서 2x을(를) 인수 분해합니다.

$$2x\left(6x+1\right)+5\left(6x+1\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 6x+1을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(6x+1\right)\left(2x+5\right)$$

수식 해답을 찾으려면 6x+1=0을 해결 하 고, 2x+5=0.

$$x=-\frac{1}{6} x=-\frac{5}{2}$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$12x^{2}+32x+5=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 12을(를) a로, 32을(를) b로, 5을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-32±\sqrt{32^{2}-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

32을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

-4에 12을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-48\times 5}}{2\times 12}$$

-48에 5을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-240}}{2\times 12}$$

1024을(를) -240에 추가합니다.

$$x=\frac{-32±\sqrt{784}}{2\times 12}$$

784의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-32±28}{2\times 12}$$

2에 12을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-32±28}{24}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-32±28}{24}을(를) 풉니다. -32을(를) 28에 추가합니다.

$$x=-\frac{4}{24}$$

4을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-4}{24}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{1}{6}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-32±28}{24}을(를) 풉니다. -32에서 28을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{60}{24}$$

12을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-60}{24}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{5}{2}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{1}{6} x=-\frac{5}{2}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$12x^{2}+32x+5=0$$

수식의 양쪽에서 5을(를) 뺍니다.

$$12x^{2}+32x+5-5=-5$$

자신에서 5을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$12x^{2}+32x=-5$$

양쪽을 12(으)로 나눕니다.

$$\frac{12x^{2}+32x}{12}=-\frac{5}{12}$$

12(으)로 나누면 12(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{32}{12}x=-\frac{5}{12}$$

4을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{32}{12}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=-\frac{5}{12}$$

x 항의 계수인 \frac{8}{3}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{4}{3}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{4}{3}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{5}{12}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{4}{3}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=-\frac{5}{12}+\frac{16}{9}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{5}{12}을(를) \frac{16}{9}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{49}{36}$$

x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}을(를) 인수 분해합니다. 일반적으로 x^{2}+bx+c가 완전 제곱일 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}로 인수 분해될 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{49}{36}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{36}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{4}{3}=\frac{7}{6} x+\frac{4}{3}=-\frac{7}{6}$$

수식의 양쪽에서 \frac{4}{3}을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{1}{6} x=-\frac{5}{2}$$