다음을 풀어보세요: 12x^2+25x-45=0

$$12 { x }^{ 2 } +25x-45=0$$

x에 대한 해

$$x = \frac{\sqrt{2785} - 25}{24} \approx 1.157212467$$

$$x=\frac{-\sqrt{2785}-25}{24}\approx -3.2405458$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$12x^{2}+25x-45=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 12을(를) a로, 25을(를) b로, -45을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-25±\sqrt{25^{2}-4\times 12\left(-45\right)}}{2\times 12}$$

25을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-4\times 12\left(-45\right)}}{2\times 12}$$

-4에 12을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-48\left(-45\right)}}{2\times 12}$$

-48에 -45을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625+2160}}{2\times 12}$$

625을(를) 2160에 추가합니다.

$$x=\frac{-25±\sqrt{2785}}{2\times 12}$$

2에 12을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-25±\sqrt{2785}}{24}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-25±\sqrt{2785}}{24}을(를) 풉니다. -25을(를) \sqrt{2785}에 추가합니다.

$$x=\frac{\sqrt{2785}-25}{24}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-25±\sqrt{2785}}{24}을(를) 풉니다. -25에서 \sqrt{2785}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-\sqrt{2785}-25}{24}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{\sqrt{2785}-25}{24} x=\frac{-\sqrt{2785}-25}{24}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$12x^{2}+25x-45=0$$

수식의 양쪽에 45을(를) 더합니다.

$$12x^{2}+25x-45-\left(-45\right)=-\left(-45\right)$$

자신에서 -45을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$12x^{2}+25x=-\left(-45\right)$$

0에서 -45을(를) 뺍니다.

$$12x^{2}+25x=45$$

양쪽을 12(으)로 나눕니다.

$$\frac{12x^{2}+25x}{12}=\frac{45}{12}$$

12(으)로 나누면 12(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{25}{12}x=\frac{45}{12}$$

3을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{45}{12}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{25}{12}x=\frac{15}{4}$$

x 항의 계수인 \frac{25}{12}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{25}{24}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{25}{24}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+\frac{25}{12}x+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}=\frac{15}{4}+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{25}{24}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+\frac{25}{12}x+\frac{625}{576}=\frac{15}{4}+\frac{625}{576}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{15}{4}을(를) \frac{625}{576}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{25}{12}x+\frac{625}{576}=\frac{2785}{576}$$

인수 x^{2}+\frac{25}{12}x+\frac{625}{576}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{25}{24}\right)^{2}=\frac{2785}{576}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{25}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2785}{576}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{25}{24}=\frac{\sqrt{2785}}{24} x+\frac{25}{24}=-\frac{\sqrt{2785}}{24}$$

수식의 양쪽에서 \frac{25}{24}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{\sqrt{2785}-25}{24} x=\frac{-\sqrt{2785}-25}{24}$$