다음을 풀어보세요: 12x^2+13x+3=0

$$12 { x }^{ 2 } +13x+3 = 0$$

x에 대한 해

$$x=-\frac{3}{4}=-0.75$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 12x^{2}+ax+bx+3(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=13 ab=12\times 3=36$$

ab은 양수 이기 때문에 a 및 b는 동일한 기호를가지고 있습니다. a+b은 양수 이기 때문에 a 및 b 모두 양수입니다. 제품 36을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$1,36 2,18 3,12 4,9 6,6$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$1+36=37 2+18=20 3+12=15 4+9=13 6+6=12$$

이 해답은 합계 13이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=4 b=9$$

12x^{2}+13x+3을(를) \left(12x^{2}+4x\right)+\left(9x+3\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(12x^{2}+4x\right)+\left(9x+3\right)$$

첫 번째 그룹 및 3에서 4x를 제한 합니다.

$$4x\left(3x+1\right)+3\left(3x+1\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 3x+1을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(3x+1\right)\left(4x+3\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 3x+1=0을 해결 하 고, 4x+3=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{4}$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$12x^{2}+13x+3=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 12을(를) a로, 13을(를) b로, 3을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 12\times 3}}{2\times 12}$$

13을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 12\times 3}}{2\times 12}$$

-4에 12을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-48\times 3}}{2\times 12}$$

-48에 3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-144}}{2\times 12}$$

169을(를) -144에 추가합니다.

$$x=\frac{-13±\sqrt{25}}{2\times 12}$$

25의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-13±5}{2\times 12}$$

2에 12을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-13±5}{24}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-13±5}{24}을(를) 풉니다. -13을(를) 5에 추가합니다.

$$x=-\frac{8}{24}$$

8을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-8}{24}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{1}{3}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-13±5}{24}을(를) 풉니다. -13에서 5을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{18}{24}$$

6을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-18}{24}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{3}{4}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{4}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$12x^{2}+13x+3=0$$

수식의 양쪽에서 3을(를) 뺍니다.

$$12x^{2}+13x+3-3=-3$$

자신에서 3을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$12x^{2}+13x=-3$$

양쪽을 12(으)로 나눕니다.

$$\frac{12x^{2}+13x}{12}=-\frac{3}{12}$$

12(으)로 나누면 12(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x=-\frac{3}{12}$$

3을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-3}{12}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x=-\frac{1}{4}$$

x 항의 계수인 \frac{13}{12}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{13}{24}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{13}{24}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x+\left(\frac{13}{24}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(\frac{13}{24}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{13}{24}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x+\frac{169}{576}=-\frac{1}{4}+\frac{169}{576}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{1}{4}을(를) \frac{169}{576}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x+\frac{169}{576}=\frac{25}{576}$$

인수 x^{2}+\frac{13}{12}x+\frac{169}{576}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{13}{24}\right)^{2}=\frac{25}{576}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{576}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{13}{24}=\frac{5}{24} x+\frac{13}{24}=-\frac{5}{24}$$

수식의 양쪽에서 \frac{13}{24}을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{4}$$