다음을 풀어보세요: 11x^2-10x+13=0

$$11 x ^ { 2 } - 10 x + 13 = 0$$

x에 대한 해 (complex solution)

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11}\approx 0.454545455+0.987525499i$$

$$x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}\approx 0.454545455-0.987525499i$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$11x^{2}-10x+13=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 11을(를) a로, -10을(를) b로, 13을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 11\times 13}}{2\times 11}$$

-10을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 11\times 13}}{2\times 11}$$

-4에 11을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-44\times 13}}{2\times 11}$$

-44에 13을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-572}}{2\times 11}$$

100을(를) -572에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{-472}}{2\times 11}$$

-472의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{118}i}{2\times 11}$$

-10의 반대는 10입니다.

$$x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{2\times 11}$$

2에 11을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{22}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{22}을(를) 풉니다. 10을(를) 2i\sqrt{118}에 추가합니다.

$$x=\frac{10+2\sqrt{118}i}{22}$$

10+2i\sqrt{118}을(를) 22(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{22}을(를) 풉니다. 10에서 2i\sqrt{118}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-2\sqrt{118}i+10}{22}$$

10-2i\sqrt{118}을(를) 22(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11} x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$11x^{2}-10x+13=0$$

수식의 양쪽에서 13을(를) 뺍니다.

$$11x^{2}-10x+13-13=-13$$

자신에서 13을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$11x^{2}-10x=-13$$

양쪽을 11(으)로 나눕니다.

$$\frac{11x^{2}-10x}{11}=-\frac{13}{11}$$

11(으)로 나누면 11(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}-\frac{10}{11}x=-\frac{13}{11}$$

x 항의 계수인 -\frac{10}{11}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{5}{11}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{5}{11}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{10}{11}x+\left(-\frac{5}{11}\right)^{2}=-\frac{13}{11}+\left(-\frac{5}{11}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{5}{11}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{10}{11}x+\frac{25}{121}=-\frac{13}{11}+\frac{25}{121}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{13}{11}을(를) \frac{25}{121}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{10}{11}x+\frac{25}{121}=-\frac{118}{121}$$

인수 x^{2}-\frac{10}{11}x+\frac{25}{121}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{5}{11}\right)^{2}=-\frac{118}{121}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{11}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{118}{121}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{5}{11}=\frac{\sqrt{118}i}{11} x-\frac{5}{11}=-\frac{\sqrt{118}i}{11}$$

수식의 양쪽에 \frac{5}{11}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11} x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}$$