다음을 풀어보세요: 10x^2-x+3=0

$$10 x ^ { 2 } - x + 3 = 0$$

x에 대한 해 (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{119}i}{20}\approx 0.05+0.545435606i$$

$$x=\frac{-\sqrt{119}i+1}{20}\approx 0.05-0.545435606i$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$10x^{2}-x+3=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 10을(를) a로, -1을(를) b로, 3을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 10\times 3}}{2\times 10}$$

-4에 10을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-40\times 3}}{2\times 10}$$

-40에 3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-120}}{2\times 10}$$

1을(를) -120에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-119}}{2\times 10}$$

-119의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{119}i}{2\times 10}$$

-1의 반대는 1입니다.

$$x=\frac{1±\sqrt{119}i}{2\times 10}$$

2에 10을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{1±\sqrt{119}i}{20}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{1±\sqrt{119}i}{20}을(를) 풉니다. 1을(를) i\sqrt{119}에 추가합니다.

$$x=\frac{1+\sqrt{119}i}{20}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{1±\sqrt{119}i}{20}을(를) 풉니다. 1에서 i\sqrt{119}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-\sqrt{119}i+1}{20}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{1+\sqrt{119}i}{20} x=\frac{-\sqrt{119}i+1}{20}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$10x^{2}-x+3=0$$

수식의 양쪽에서 3을(를) 뺍니다.

$$10x^{2}-x+3-3=-3$$

자신에서 3을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$10x^{2}-x=-3$$

양쪽을 10(으)로 나눕니다.

$$\frac{10x^{2}-x}{10}=-\frac{3}{10}$$

10(으)로 나누면 10(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}-\frac{1}{10}x=-\frac{3}{10}$$

x 항의 계수인 -\frac{1}{10}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{1}{20}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{1}{20}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{1}{10}x+\left(-\frac{1}{20}\right)^{2}=-\frac{3}{10}+\left(-\frac{1}{20}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{1}{20}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{1}{10}x+\frac{1}{400}=-\frac{3}{10}+\frac{1}{400}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{3}{10}을(를) \frac{1}{400}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{1}{10}x+\frac{1}{400}=-\frac{119}{400}$$

인수 x^{2}-\frac{1}{10}x+\frac{1}{400}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{1}{20}\right)^{2}=-\frac{119}{400}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{20}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{119}{400}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{1}{20}=\frac{\sqrt{119}i}{20} x-\frac{1}{20}=-\frac{\sqrt{119}i}{20}$$

수식의 양쪽에 \frac{1}{20}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{1+\sqrt{119}i}{20} x=\frac{-\sqrt{119}i+1}{20}$$