다음을 풀어보세요: 10x^2-15x+2=0

$$10 x ^ { 2 } - 15 x + 2 = 0$$

x에 대한 해

$$x=\frac{\sqrt{145}}{20}+\frac{3}{4}\approx 1.352079729$$

$$x=-\frac{\sqrt{145}}{20}+\frac{3}{4}\approx 0.147920271$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$10x^{2}-15x+2=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 10을(를) a로, -15을(를) b로, 2을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 10\times 2}}{2\times 10}$$

-15을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 10\times 2}}{2\times 10}$$

-4에 10을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-40\times 2}}{2\times 10}$$

-40에 2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-80}}{2\times 10}$$

225을(를) -80에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{145}}{2\times 10}$$

-15의 반대는 15입니다.

$$x=\frac{15±\sqrt{145}}{2\times 10}$$

2에 10을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{15±\sqrt{145}}{20}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{15±\sqrt{145}}{20}을(를) 풉니다. 15을(를) \sqrt{145}에 추가합니다.

$$x=\frac{\sqrt{145}+15}{20}$$

15+\sqrt{145}을(를) 20(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{\sqrt{145}}{20}+\frac{3}{4}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{15±\sqrt{145}}{20}을(를) 풉니다. 15에서 \sqrt{145}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{15-\sqrt{145}}{20}$$

15-\sqrt{145}을(를) 20(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{\sqrt{145}}{20}+\frac{3}{4}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{\sqrt{145}}{20}+\frac{3}{4} x=-\frac{\sqrt{145}}{20}+\frac{3}{4}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$10x^{2}-15x+2=0$$

수식의 양쪽에서 2을(를) 뺍니다.

$$10x^{2}-15x+2-2=-2$$

자신에서 2을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$10x^{2}-15x=-2$$

양쪽을 10(으)로 나눕니다.

$$\frac{10x^{2}-15x}{10}=-\frac{2}{10}$$

10(으)로 나누면 10(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{10}\right)x=-\frac{2}{10}$$

5을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-15}{10}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{2}{10}$$

2을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-2}{10}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{1}{5}$$

x 항의 계수인 -\frac{3}{2}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{3}{4}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{3}{4}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{3}{4}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{1}{5}+\frac{9}{16}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{1}{5}을(를) \frac{9}{16}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{29}{80}$$

x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}을(를) 인수 분해합니다. 일반적으로 x^{2}+bx+c가 완전 제곱일 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}로 인수 분해될 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{29}{80}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{29}{80}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{145}}{20} x-\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{145}}{20}$$

수식의 양쪽에 \frac{3}{4}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{\sqrt{145}}{20}+\frac{3}{4} x=-\frac{\sqrt{145}}{20}+\frac{3}{4}$$