다음을 풀어보세요: 10x^2-11x-6=0

$$10 x ^ { 2 } - 11 x - 6 = 0$$

x에 대한 해

$$x=-\frac{2}{5}=-0.4$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 10x^{2}+ax+bx-6(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=-11 ab=10\left(-6\right)=-60$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b 음수 이기 때문에 음수 값은 양수 보다 더 큰 절대값을 가집니다. 제품 -60을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

이 해답은 합계 -11이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-15 b=4$$

10x^{2}-11x-6을(를) \left(10x^{2}-15x\right)+\left(4x-6\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(10x^{2}-15x\right)+\left(4x-6\right)$$

첫 번째 그룹 및 2에서 5x를 제한 합니다.

$$5x\left(2x-3\right)+2\left(2x-3\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 2x-3을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(2x-3\right)\left(5x+2\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 2x-3=0을 해결 하 고, 5x+2=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{2}{5}$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$10x^{2}-11x-6=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 10을(를) a로, -11을(를) b로, -6을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 10\left(-6\right)}}{2\times 10}$$

-11을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 10\left(-6\right)}}{2\times 10}$$

-4에 10을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-40\left(-6\right)}}{2\times 10}$$

-40에 -6을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+240}}{2\times 10}$$

121을(를) 240에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{361}}{2\times 10}$$

361의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±19}{2\times 10}$$

-11의 반대는 11입니다.

$$x=\frac{11±19}{2\times 10}$$

2에 10을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{11±19}{20}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{11±19}{20}을(를) 풉니다. 11을(를) 19에 추가합니다.

$$x=\frac{30}{20}$$

10을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{30}{20}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=\frac{3}{2}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{11±19}{20}을(를) 풉니다. 11에서 19을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{8}{20}$$

4을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-8}{20}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{2}{5}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{2}{5}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$10x^{2}-11x-6=0$$

수식의 양쪽에 6을(를) 더합니다.

$$10x^{2}-11x-6-\left(-6\right)=-\left(-6\right)$$

자신에서 -6을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$10x^{2}-11x=-\left(-6\right)$$

0에서 -6을(를) 뺍니다.

$$10x^{2}-11x=6$$

양쪽을 10(으)로 나눕니다.

$$\frac{10x^{2}-11x}{10}=\frac{6}{10}$$

10(으)로 나누면 10(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}-\frac{11}{10}x=\frac{6}{10}$$

2을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{6}{10}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{11}{10}x=\frac{3}{5}$$

x 항의 계수인 -\frac{11}{10}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{11}{20}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{11}{20}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{11}{10}x+\left(-\frac{11}{20}\right)^{2}=\frac{3}{5}+\left(-\frac{11}{20}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{11}{20}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{11}{10}x+\frac{121}{400}=\frac{3}{5}+\frac{121}{400}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{3}{5}을(를) \frac{121}{400}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{11}{10}x+\frac{121}{400}=\frac{361}{400}$$

인수 x^{2}-\frac{11}{10}x+\frac{121}{400}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{11}{20}\right)^{2}=\frac{361}{400}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{400}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{11}{20}=\frac{19}{20} x-\frac{11}{20}=-\frac{19}{20}$$

수식의 양쪽에 \frac{11}{20}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{2}{5}$$