다음을 풀어보세요: 10x^2+7x-12=0

$$10 x ^ { 2 } + 7 x - 12 = 0$$

x에 대한 해

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$x=\frac{4}{5}=0.8$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 10x^{2}+ax+bx-12(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=7 ab=10\left(-12\right)=-120$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b이(가) 양수이므로 양수는 음수보다 큰 절대값을 가집니다. 제품 -120을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$-1,120 -2,60 -3,40 -4,30 -5,24 -6,20 -8,15 -10,12$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$-1+120=119 -2+60=58 -3+40=37 -4+30=26 -5+24=19 -6+20=14 -8+15=7 -10+12=2$$

이 해답은 합계 7이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-8 b=15$$

10x^{2}+7x-12을(를) \left(10x^{2}-8x\right)+\left(15x-12\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(10x^{2}-8x\right)+\left(15x-12\right)$$

첫 번째 그룹 및 3에서 2x를 제한 합니다.

$$2x\left(5x-4\right)+3\left(5x-4\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 5x-4을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(5x-4\right)\left(2x+3\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 5x-4=0을 해결 하 고, 2x+3=0.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$10x^{2}+7x-12=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 10을(를) a로, 7을(를) b로, -12을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 10\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

7을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 10\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

-4에 10을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-40\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

-40에 -12을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+480}}{2\times 10}$$

49을(를) 480에 추가합니다.

$$x=\frac{-7±\sqrt{529}}{2\times 10}$$

529의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-7±23}{2\times 10}$$

2에 10을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-7±23}{20}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-7±23}{20}을(를) 풉니다. -7을(를) 23에 추가합니다.

$$x=\frac{16}{20}$$

4을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{16}{20}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=\frac{4}{5}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-7±23}{20}을(를) 풉니다. -7에서 23을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{30}{20}$$

10을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-30}{20}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{3}{2}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$10x^{2}+7x-12=0$$

수식의 양쪽에 12을(를) 더합니다.

$$10x^{2}+7x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

자신에서 -12을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$10x^{2}+7x=-\left(-12\right)$$

0에서 -12을(를) 뺍니다.

$$10x^{2}+7x=12$$

양쪽을 10(으)로 나눕니다.

$$\frac{10x^{2}+7x}{10}=\frac{12}{10}$$

10(으)로 나누면 10(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x=\frac{12}{10}$$

2을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{12}{10}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x=\frac{6}{5}$$

x 항의 계수인 \frac{7}{10}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{7}{20}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{7}{20}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\left(\frac{7}{20}\right)^{2}=\frac{6}{5}+\left(\frac{7}{20}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{7}{20}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}=\frac{6}{5}+\frac{49}{400}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{6}{5}을(를) \frac{49}{400}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}=\frac{529}{400}$$

인수 x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{7}{20}\right)^{2}=\frac{529}{400}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{400}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{7}{20}=\frac{23}{20} x+\frac{7}{20}=-\frac{23}{20}$$

수식의 양쪽에서 \frac{7}{20}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$