다음을 풀어보세요: 10x^2+67x-21=0

$$10 x ^ { 2 } + 67 x - 21 = 0$$

x에 대한 해

$$x=-7$$

$$x=\frac{3}{10}=0.3$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 10x^{2}+ax+bx-21(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=67 ab=10\left(-21\right)=-210$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b이(가) 양수이므로 양수는 음수보다 큰 절대값을 가집니다. 제품 -210을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$-1,210 -2,105 -3,70 -5,42 -6,35 -7,30 -10,21 -14,15$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$-1+210=209 -2+105=103 -3+70=67 -5+42=37 -6+35=29 -7+30=23 -10+21=11 -14+15=1$$

이 해답은 합계 67이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-3 b=70$$

10x^{2}+67x-21을(를) \left(10x^{2}-3x\right)+\left(70x-21\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(10x^{2}-3x\right)+\left(70x-21\right)$$

첫 번째 그룹 및 7에서 x를 제한 합니다.

$$x\left(10x-3\right)+7\left(10x-3\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 10x-3을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(10x-3\right)\left(x+7\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 10x-3=0을 해결 하 고, x+7=0.

$$x=\frac{3}{10} x=-7$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$10x^{2}+67x-21=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 10을(를) a로, 67을(를) b로, -21을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-67±\sqrt{67^{2}-4\times 10\left(-21\right)}}{2\times 10}$$

67을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-67±\sqrt{4489-4\times 10\left(-21\right)}}{2\times 10}$$

-4에 10을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-67±\sqrt{4489-40\left(-21\right)}}{2\times 10}$$

-40에 -21을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-67±\sqrt{4489+840}}{2\times 10}$$

4489을(를) 840에 추가합니다.

$$x=\frac{-67±\sqrt{5329}}{2\times 10}$$

5329의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-67±73}{2\times 10}$$

2에 10을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-67±73}{20}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-67±73}{20}을(를) 풉니다. -67을(를) 73에 추가합니다.

$$x=\frac{6}{20}$$

2을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{6}{20}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=\frac{3}{10}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-67±73}{20}을(를) 풉니다. -67에서 73을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{140}{20}$$

-140을(를) 20(으)로 나눕니다.

$$x=-7$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{3}{10} x=-7$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$10x^{2}+67x-21=0$$

수식의 양쪽에 21을(를) 더합니다.

$$10x^{2}+67x-21-\left(-21\right)=-\left(-21\right)$$

자신에서 -21을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$10x^{2}+67x=-\left(-21\right)$$

0에서 -21을(를) 뺍니다.

$$10x^{2}+67x=21$$

양쪽을 10(으)로 나눕니다.

$$\frac{10x^{2}+67x}{10}=\frac{21}{10}$$

10(으)로 나누면 10(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{67}{10}x=\frac{21}{10}$$

x 항의 계수인 \frac{67}{10}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{67}{20}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{67}{20}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+\frac{67}{10}x+\left(\frac{67}{20}\right)^{2}=\frac{21}{10}+\left(\frac{67}{20}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{67}{20}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+\frac{67}{10}x+\frac{4489}{400}=\frac{21}{10}+\frac{4489}{400}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{21}{10}을(를) \frac{4489}{400}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{67}{10}x+\frac{4489}{400}=\frac{5329}{400}$$

인수 x^{2}+\frac{67}{10}x+\frac{4489}{400}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{67}{20}\right)^{2}=\frac{5329}{400}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{67}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5329}{400}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{67}{20}=\frac{73}{20} x+\frac{67}{20}=-\frac{73}{20}$$

수식의 양쪽에서 \frac{67}{20}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{3}{10} x=-7$$