다음을 풀어보세요: 10k^2+9k-1=0

$$10 k ^ { 2 } + 9 k - 1 = 0$$

k에 대한 해

$$k=-1$$

$$k=\frac{1}{10}=0.1$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 10k^{2}+ak+bk-1(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=9 ab=10\left(-1\right)=-10$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b이(가) 양수이므로 양수는 음수보다 큰 절대값을 가집니다. 제품 -10을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$-1,10 -2,5$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

이 해답은 합계 9이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-1 b=10$$

10k^{2}+9k-1을(를) \left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right)$$

인수분해 10k^{2}-k에서 k를 뽑아냅니다.

$$k\left(10k-1\right)+10k-1$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 10k-1을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(10k-1\right)\left(k+1\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 10k-1=0을 해결 하 고, k+1=0.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 10을(를) a로, 9을(를) b로, -1을(를) c로 치환합니다.

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

9을(를) 제곱합니다.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

-4에 10을(를) 곱합니다.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-40\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

-40에 -1을(를) 곱합니다.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81+40}}{2\times 10}$$

81을(를) 40에 추가합니다.

$$k=\frac{-9±\sqrt{121}}{2\times 10}$$

121의 제곱근을 구합니다.

$$k=\frac{-9±11}{2\times 10}$$

2에 10을(를) 곱합니다.

$$k=\frac{-9±11}{20}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 k=\frac{-9±11}{20}을(를) 풉니다. -9을(를) 11에 추가합니다.

$$k=\frac{2}{20}$$

2을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{2}{20}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$k=\frac{1}{10}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 k=\frac{-9±11}{20}을(를) 풉니다. -9에서 11을(를) 뺍니다.

$$k=-\frac{20}{20}$$

-20을(를) 20(으)로 나눕니다.

$$k=-1$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

수식의 양쪽에 1을(를) 더합니다.

$$10k^{2}+9k-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

자신에서 -1을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$10k^{2}+9k=-\left(-1\right)$$

0에서 -1을(를) 뺍니다.

$$10k^{2}+9k=1$$

양쪽을 10(으)로 나눕니다.

$$\frac{10k^{2}+9k}{10}=\frac{1}{10}$$

10(으)로 나누면 10(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k=\frac{1}{10}$$

x 항의 계수인 \frac{9}{10}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{9}{20}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{9}{20}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{1}{10}+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{9}{20}을(를) 제곱합니다.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{1}{10}+\frac{81}{400}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{1}{10}을(를) \frac{81}{400}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{121}{400}$$

인수 k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{121}{400}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{400}}$$

단순화합니다.

$$k+\frac{9}{20}=\frac{11}{20} k+\frac{9}{20}=-\frac{11}{20}$$

수식의 양쪽에서 \frac{9}{20}을(를) 뺍니다.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$