다음을 풀어보세요: 10^2+x^2=8^2-(12-x)^2

$$10 ^ { 2 } + x ^ { 2 } = 8 ^ { 2 } - ( 12 - x ) ^ { 2 }$$

x에 대한 해 (complex solution)

$$x=6+3\sqrt{6}i\approx 6+7.348469228i$$

$$x=-3\sqrt{6}i+6\approx 6-7.348469228i$$

근의 공식을 사용한 단계

10의 2제곱을 계산하여 100을(를) 구합니다.

$$100+x^{2}=8^{2}-\left(12-x\right)^{2}$$

8의 2제곱을 계산하여 64을(를) 구합니다.

$$100+x^{2}=64-\left(12-x\right)^{2}$$

이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(12-x\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$100+x^{2}=64-\left(144-24x+x^{2}\right)$$

144-24x+x^{2}의 반대수를 찾으려면 각 항의 반대수를 찾으세요.

$$100+x^{2}=64-144+24x-x^{2}$$

64에서 144을(를) 빼고 -80을(를) 구합니다.

$$100+x^{2}=-80+24x-x^{2}$$

양쪽 모두에서 -80을(를) 뺍니다.

$$100+x^{2}-\left(-80\right)=24x-x^{2}$$

-80의 반대는 80입니다.

$$100+x^{2}+80=24x-x^{2}$$

양쪽 모두에서 24x을(를) 뺍니다.

$$100+x^{2}+80-24x=-x^{2}$$

100과(와) 80을(를) 더하여 180을(를) 구합니다.

$$180+x^{2}-24x=-x^{2}$$

양쪽에 x^{2}을(를) 더합니다.

$$180+x^{2}-24x+x^{2}=0$$

x^{2}과(와) x^{2}을(를) 결합하여 2x^{2}(을)를 구합니다.

$$180+2x^{2}-24x=0$$

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$2x^{2}-24x+180=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 2을(를) a로, -24을(를) b로, 180을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 2\times 180}}{2\times 2}$$

-24을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 2\times 180}}{2\times 2}$$

-4에 2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-8\times 180}}{2\times 2}$$

-8에 180을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-1440}}{2\times 2}$$

576을(를) -1440에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{-864}}{2\times 2}$$

-864의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±12\sqrt{6}i}{2\times 2}$$

-24의 반대는 24입니다.

$$x=\frac{24±12\sqrt{6}i}{2\times 2}$$

2에 2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{24±12\sqrt{6}i}{4}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{24±12\sqrt{6}i}{4}을(를) 풉니다. 24을(를) 12i\sqrt{6}에 추가합니다.

$$x=\frac{24+12\sqrt{6}i}{4}$$

24+12i\sqrt{6}을(를) 4(으)로 나눕니다.

$$x=6+3\sqrt{6}i$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{24±12\sqrt{6}i}{4}을(를) 풉니다. 24에서 12i\sqrt{6}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-12\sqrt{6}i+24}{4}$$

24-12i\sqrt{6}을(를) 4(으)로 나눕니다.

$$x=-3\sqrt{6}i+6$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=6+3\sqrt{6}i x=-3\sqrt{6}i+6$$

제곱 완성 단계

10의 2제곱을 계산하여 100을(를) 구합니다.

$$100+x^{2}=8^{2}-\left(12-x\right)^{2}$$

8의 2제곱을 계산하여 64을(를) 구합니다.

$$100+x^{2}=64-\left(12-x\right)^{2}$$

이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(12-x\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$100+x^{2}=64-\left(144-24x+x^{2}\right)$$

144-24x+x^{2}의 반대수를 찾으려면 각 항의 반대수를 찾으세요.

$$100+x^{2}=64-144+24x-x^{2}$$

64에서 144을(를) 빼고 -80을(를) 구합니다.

$$100+x^{2}=-80+24x-x^{2}$$

양쪽 모두에서 24x을(를) 뺍니다.

$$100+x^{2}-24x=-80-x^{2}$$

양쪽에 x^{2}을(를) 더합니다.

$$100+x^{2}-24x+x^{2}=-80$$

x^{2}과(와) x^{2}을(를) 결합하여 2x^{2}(을)를 구합니다.

$$100+2x^{2}-24x=-80$$

양쪽 모두에서 100을(를) 뺍니다.

$$2x^{2}-24x=-80-100$$

-80에서 100을(를) 빼고 -180을(를) 구합니다.

$$2x^{2}-24x=-180$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$\frac{2x^{2}-24x}{2}=-\frac{180}{2}$$

2(으)로 나누면 2(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{2}\right)x=-\frac{180}{2}$$

-24을(를) 2(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-12x=-\frac{180}{2}$$

-180을(를) 2(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-12x=-90$$

x 항의 계수인 -12을(를) 2(으)로 나눠서 -6을(를) 구합니다. 그런 다음 -6의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-12x+\left(-6\right)^{2}=-90+\left(-6\right)^{2}$$

-6을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-12x+36=-90+36$$

-90을(를) 36에 추가합니다.

$$x^{2}-12x+36=-54$$

인수 x^{2}-12x+36. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-6\right)^{2}=-54$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-6\right)^{2}}=\sqrt{-54}$$

단순화합니다.

$$x-6=3\sqrt{6}i x-6=-3\sqrt{6}i$$

수식의 양쪽에 6을(를) 더합니다.

$$x=6+3\sqrt{6}i x=-3\sqrt{6}i+6$$