다음을 풀어보세요: -5x^2+200x+30000=3200

$$-5 { x }^{ 2 } +200x+30000=3200$$

x에 대한 해

$$x=24\sqrt{10}+20\approx 95.894663844$$

$$x=20-24\sqrt{10}\approx -55.894663844$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$-5x^{2}+200x+30000=3200$$

수식의 양쪽에서 3200을(를) 뺍니다.

$$-5x^{2}+200x+30000-3200=3200-3200$$

자신에서 3200을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$-5x^{2}+200x+30000-3200=0$$

30000에서 3200을(를) 뺍니다.

$$-5x^{2}+200x+26800=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 -5을(를) a로, 200을(를) b로, 26800을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-200±\sqrt{200^{2}-4\left(-5\right)\times 26800}}{2\left(-5\right)}$$

200을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-4\left(-5\right)\times 26800}}{2\left(-5\right)}$$

-4에 -5을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000+20\times 26800}}{2\left(-5\right)}$$

20에 26800을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000+536000}}{2\left(-5\right)}$$

40000을(를) 536000에 추가합니다.

$$x=\frac{-200±\sqrt{576000}}{2\left(-5\right)}$$

576000의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-200±240\sqrt{10}}{2\left(-5\right)}$$

2에 -5을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-200±240\sqrt{10}}{-10}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-200±240\sqrt{10}}{-10}을(를) 풉니다. -200을(를) 240\sqrt{10}에 추가합니다.

$$x=\frac{240\sqrt{10}-200}{-10}$$

-200+240\sqrt{10}을(를) -10(으)로 나눕니다.

$$x=20-24\sqrt{10}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-200±240\sqrt{10}}{-10}을(를) 풉니다. -200에서 240\sqrt{10}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-240\sqrt{10}-200}{-10}$$

-200-240\sqrt{10}을(를) -10(으)로 나눕니다.

$$x=24\sqrt{10}+20$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=20-24\sqrt{10} x=24\sqrt{10}+20$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$-5x^{2}+200x+30000=3200$$

수식의 양쪽에서 30000을(를) 뺍니다.

$$-5x^{2}+200x+30000-30000=3200-30000$$

자신에서 30000을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$-5x^{2}+200x=3200-30000$$

3200에서 30000을(를) 뺍니다.

$$-5x^{2}+200x=-26800$$

양쪽을 -5(으)로 나눕니다.

$$\frac{-5x^{2}+200x}{-5}=-\frac{26800}{-5}$$

-5(으)로 나누면 -5(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{200}{-5}x=-\frac{26800}{-5}$$

200을(를) -5(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-40x=-\frac{26800}{-5}$$

-26800을(를) -5(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-40x=5360$$

x 항의 계수인 -40을(를) 2(으)로 나눠서 -20을(를) 구합니다. 그런 다음 -20의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-40x+\left(-20\right)^{2}=5360+\left(-20\right)^{2}$$

-20을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-40x+400=5360+400$$

5360을(를) 400에 추가합니다.

$$x^{2}-40x+400=5760$$

x^{2}-40x+400을(를) 인수 분해합니다. 일반적으로 x^{2}+bx+c가 완전 제곱일 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}로 인수 분해될 수 있습니다.

$$\left(x-20\right)^{2}=5760$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-20\right)^{2}}=\sqrt{5760}$$

단순화합니다.

$$x-20=24\sqrt{10} x-20=-24\sqrt{10}$$

수식의 양쪽에 20을(를) 더합니다.

$$x=24\sqrt{10}+20 x=20-24\sqrt{10}$$