다음을 풀어보세요: -16x^2-4x+382=0

$$-16 { x }^{ 2 } -4x+382=0$$

x에 대한 해

$$x = \frac{\sqrt{1529} - 1}{8} \approx 4.762803699$$

$$x=\frac{-\sqrt{1529}-1}{8}\approx -5.012803699$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$-16x^{2}-4x+382=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 -16을(를) a로, -4을(를) b로, 382을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\left(-16\right)\times 382}}{2\left(-16\right)}$$

-4을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\left(-16\right)\times 382}}{2\left(-16\right)}$$

-4에 -16을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+64\times 382}}{2\left(-16\right)}$$

64에 382을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+24448}}{2\left(-16\right)}$$

16을(를) 24448에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{24464}}{2\left(-16\right)}$$

24464의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±4\sqrt{1529}}{2\left(-16\right)}$$

-4의 반대는 4입니다.

$$x=\frac{4±4\sqrt{1529}}{2\left(-16\right)}$$

2에 -16을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{4±4\sqrt{1529}}{-32}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{4±4\sqrt{1529}}{-32}을(를) 풉니다. 4을(를) 4\sqrt{1529}에 추가합니다.

$$x=\frac{4\sqrt{1529}+4}{-32}$$

4+4\sqrt{1529}을(를) -32(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{-\sqrt{1529}-1}{8}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{4±4\sqrt{1529}}{-32}을(를) 풉니다. 4에서 4\sqrt{1529}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{4-4\sqrt{1529}}{-32}$$

4-4\sqrt{1529}을(를) -32(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{\sqrt{1529}-1}{8}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{-\sqrt{1529}-1}{8} x=\frac{\sqrt{1529}-1}{8}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$-16x^{2}-4x+382=0$$

수식의 양쪽에서 382을(를) 뺍니다.

$$-16x^{2}-4x+382-382=-382$$

자신에서 382을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$-16x^{2}-4x=-382$$

양쪽을 -16(으)로 나눕니다.

$$\frac{-16x^{2}-4x}{-16}=-\frac{382}{-16}$$

-16(으)로 나누면 -16(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{-16}\right)x=-\frac{382}{-16}$$

4을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-4}{-16}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=-\frac{382}{-16}$$

2을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-382}{-16}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=\frac{191}{8}$$

x 항의 계수인 \frac{1}{4}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{1}{8}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{1}{8}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{191}{8}+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{1}{8}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{191}{8}+\frac{1}{64}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{191}{8}을(를) \frac{1}{64}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{1529}{64}$$

x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}을(를) 인수 분해합니다. 일반적으로 x^{2}+bx+c가 완전 제곱일 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}로 인수 분해될 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{1529}{64}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1529}{64}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{1}{8}=\frac{\sqrt{1529}}{8} x+\frac{1}{8}=-\frac{\sqrt{1529}}{8}$$

수식의 양쪽에서 \frac{1}{8}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{\sqrt{1529}-1}{8} x=\frac{-\sqrt{1529}-1}{8}$$