다음을 풀어보세요: -144x^2+9x-9=0

$$-144 { x }^{ 2 } +9x-9 = 0$$

x에 대한 해 (complex solution)

$$x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{32}\approx 0.03125+0.248039185i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{32}\approx 0.03125-0.248039185i$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$-144x^{2}+9x-9=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 -144을(를) a로, 9을(를) b로, -9을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\left(-144\right)\left(-9\right)}}{2\left(-144\right)}$$

9을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\left(-144\right)\left(-9\right)}}{2\left(-144\right)}$$

-4에 -144을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+576\left(-9\right)}}{2\left(-144\right)}$$

576에 -9을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-5184}}{2\left(-144\right)}$$

81을(를) -5184에 추가합니다.

$$x=\frac{-9±\sqrt{-5103}}{2\left(-144\right)}$$

-5103의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-9±27\sqrt{7}i}{2\left(-144\right)}$$

2에 -144을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-9±27\sqrt{7}i}{-288}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-9±27\sqrt{7}i}{-288}을(를) 풉니다. -9을(를) 27i\sqrt{7}에 추가합니다.

$$x=\frac{-9+27\sqrt{7}i}{-288}$$

-9+27i\sqrt{7}을(를) -288(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{32}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-9±27\sqrt{7}i}{-288}을(를) 풉니다. -9에서 27i\sqrt{7}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-27\sqrt{7}i-9}{-288}$$

-9-27i\sqrt{7}을(를) -288(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{32}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{32} x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{32}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$-144x^{2}+9x-9=0$$

수식의 양쪽에 9을(를) 더합니다.

$$-144x^{2}+9x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

자신에서 -9을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$-144x^{2}+9x=-\left(-9\right)$$

0에서 -9을(를) 뺍니다.

$$-144x^{2}+9x=9$$

양쪽을 -144(으)로 나눕니다.

$$\frac{-144x^{2}+9x}{-144}=\frac{9}{-144}$$

-144(으)로 나누면 -144(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{9}{-144}x=\frac{9}{-144}$$

9을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{9}{-144}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{1}{16}x=\frac{9}{-144}$$

9을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{9}{-144}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{1}{16}x=-\frac{1}{16}$$

x 항의 계수인 -\frac{1}{16}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{1}{32}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{1}{32}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{1}{16}x+\left(-\frac{1}{32}\right)^{2}=-\frac{1}{16}+\left(-\frac{1}{32}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{1}{32}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{1}{16}x+\frac{1}{1024}=-\frac{1}{16}+\frac{1}{1024}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{1}{16}을(를) \frac{1}{1024}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{1}{16}x+\frac{1}{1024}=-\frac{63}{1024}$$

인수 x^{2}-\frac{1}{16}x+\frac{1}{1024}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{1}{32}\right)^{2}=-\frac{63}{1024}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{32}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{63}{1024}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{1}{32}=\frac{3\sqrt{7}i}{32} x-\frac{1}{32}=-\frac{3\sqrt{7}i}{32}$$

수식의 양쪽에 \frac{1}{32}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{32} x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{32}$$