다음을 풀어보세요: -x^2-x-1=0

$$- x ^ { 2 } - x - 1 = 0$$

x에 대한 해 (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}\approx -0.5-0.866025404i$$

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\approx -0.5+0.866025404i$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$-x^{2}-x-1=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 -1을(를) a로, -1을(를) b로, -1을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

-4에 -1을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

4에 -1을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4}}{2\left(-1\right)}$$

1을(를) -4에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-3}}{2\left(-1\right)}$$

-3의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{3}i}{2\left(-1\right)}$$

-1의 반대는 1입니다.

$$x=\frac{1±\sqrt{3}i}{2\left(-1\right)}$$

2에 -1을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{1±\sqrt{3}i}{-2}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{1±\sqrt{3}i}{-2}을(를) 풉니다. 1을(를) i\sqrt{3}에 추가합니다.

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{-2}$$

1+i\sqrt{3}을(를) -2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{1±\sqrt{3}i}{-2}을(를) 풉니다. 1에서 i\sqrt{3}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{-2}$$

1-i\sqrt{3}을(를) -2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2} x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$-x^{2}-x-1=0$$

수식의 양쪽에 1을(를) 더합니다.

$$-x^{2}-x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

자신에서 -1을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$-x^{2}-x=-\left(-1\right)$$

0에서 -1을(를) 뺍니다.

$$-x^{2}-x=1$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$\frac{-x^{2}-x}{-1}=\frac{1}{-1}$$

-1(으)로 나누면 -1(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\left(-\frac{1}{-1}\right)x=\frac{1}{-1}$$

-1을(를) -1(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+x=\frac{1}{-1}$$

1을(를) -1(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+x=-1$$

x 항의 계수인 1을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{1}{2}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{1}{2}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{1}{2}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-1+\frac{1}{4}$$

-1을(를) \frac{1}{4}에 추가합니다.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

x^{2}+x+\frac{1}{4}을(를) 인수 분해합니다. 일반적으로 x^{2}+bx+c가 완전 제곱일 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}로 인수 분해될 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{4}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{4}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}i}{2}$$

수식의 양쪽에서 \frac{1}{2}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$