다음을 풀어보세요: -x^2+90x-75=20

$$- x ^ { 2 } + 90 x - 75 = 20$$

x에 대한 해

$$x=\sqrt{1930}+45\approx 88.931765273$$

$$x=45-\sqrt{1930}\approx 1.068234727$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$-x^{2}+90x-75=20$$

수식의 양쪽에서 20을(를) 뺍니다.

$$-x^{2}+90x-75-20=20-20$$

자신에서 20을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$-x^{2}+90x-75-20=0$$

-75에서 20을(를) 뺍니다.

$$-x^{2}+90x-95=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 -1을(를) a로, 90을(를) b로, -95을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-90±\sqrt{90^{2}-4\left(-1\right)\left(-95\right)}}{2\left(-1\right)}$$

90을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-4\left(-1\right)\left(-95\right)}}{2\left(-1\right)}$$

-4에 -1을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100+4\left(-95\right)}}{2\left(-1\right)}$$

4에 -95을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-380}}{2\left(-1\right)}$$

8100을(를) -380에 추가합니다.

$$x=\frac{-90±\sqrt{7720}}{2\left(-1\right)}$$

7720의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-90±2\sqrt{1930}}{2\left(-1\right)}$$

2에 -1을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-90±2\sqrt{1930}}{-2}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-90±2\sqrt{1930}}{-2}을(를) 풉니다. -90을(를) 2\sqrt{1930}에 추가합니다.

$$x=\frac{2\sqrt{1930}-90}{-2}$$

-90+2\sqrt{1930}을(를) -2(으)로 나눕니다.

$$x=45-\sqrt{1930}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-90±2\sqrt{1930}}{-2}을(를) 풉니다. -90에서 2\sqrt{1930}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-2\sqrt{1930}-90}{-2}$$

-90-2\sqrt{1930}을(를) -2(으)로 나눕니다.

$$x=\sqrt{1930}+45$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=45-\sqrt{1930} x=\sqrt{1930}+45$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$-x^{2}+90x-75=20$$

수식의 양쪽에 75을(를) 더합니다.

$$-x^{2}+90x-75-\left(-75\right)=20-\left(-75\right)$$

자신에서 -75을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$-x^{2}+90x=20-\left(-75\right)$$

20에서 -75을(를) 뺍니다.

$$-x^{2}+90x=95$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$\frac{-x^{2}+90x}{-1}=\frac{95}{-1}$$

-1(으)로 나누면 -1(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{90}{-1}x=\frac{95}{-1}$$

90을(를) -1(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-90x=\frac{95}{-1}$$

95을(를) -1(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-90x=-95$$

x 항의 계수인 -90을(를) 2(으)로 나눠서 -45을(를) 구합니다. 그런 다음 -45의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-90x+\left(-45\right)^{2}=-95+\left(-45\right)^{2}$$

-45을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-90x+2025=-95+2025$$

-95을(를) 2025에 추가합니다.

$$x^{2}-90x+2025=1930$$

인수 x^{2}-90x+2025. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-45\right)^{2}=1930$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-45\right)^{2}}=\sqrt{1930}$$

단순화합니다.

$$x-45=\sqrt{1930} x-45=-\sqrt{1930}$$

수식의 양쪽에 45을(를) 더합니다.

$$x=\sqrt{1930}+45 x=45-\sqrt{1930}$$