다음을 풀어보세요: -x^2+8x+47=0

$$- x ^ { 2 } + 8 x + 47 = 0$$

x에 대한 해

$$x=3\sqrt{7}+4\approx 11.937253933$$

$$x=4-3\sqrt{7}\approx -3.937253933$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$-x^{2}+8x+47=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 -1을(를) a로, 8을(를) b로, 47을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\left(-1\right)\times 47}}{2\left(-1\right)}$$

8을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\left(-1\right)\times 47}}{2\left(-1\right)}$$

-4에 -1을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+4\times 47}}{2\left(-1\right)}$$

4에 47을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+188}}{2\left(-1\right)}$$

64을(를) 188에 추가합니다.

$$x=\frac{-8±\sqrt{252}}{2\left(-1\right)}$$

252의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-8±6\sqrt{7}}{2\left(-1\right)}$$

2에 -1을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-8±6\sqrt{7}}{-2}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-8±6\sqrt{7}}{-2}을(를) 풉니다. -8을(를) 6\sqrt{7}에 추가합니다.

$$x=\frac{6\sqrt{7}-8}{-2}$$

-8+6\sqrt{7}을(를) -2(으)로 나눕니다.

$$x=4-3\sqrt{7}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-8±6\sqrt{7}}{-2}을(를) 풉니다. -8에서 6\sqrt{7}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-6\sqrt{7}-8}{-2}$$

-8-6\sqrt{7}을(를) -2(으)로 나눕니다.

$$x=3\sqrt{7}+4$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=4-3\sqrt{7} x=3\sqrt{7}+4$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$-x^{2}+8x+47=0$$

수식의 양쪽에서 47을(를) 뺍니다.

$$-x^{2}+8x+47-47=-47$$

자신에서 47을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$-x^{2}+8x=-47$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$\frac{-x^{2}+8x}{-1}=-\frac{47}{-1}$$

-1(으)로 나누면 -1(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{8}{-1}x=-\frac{47}{-1}$$

8을(를) -1(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-8x=-\frac{47}{-1}$$

-47을(를) -1(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-8x=47$$

x 항의 계수인 -8을(를) 2(으)로 나눠서 -4을(를) 구합니다. 그런 다음 -4의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=47+\left(-4\right)^{2}$$

-4을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-8x+16=47+16$$

47을(를) 16에 추가합니다.

$$x^{2}-8x+16=63$$

인수 x^{2}-8x+16. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-4\right)^{2}=63$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{63}$$

단순화합니다.

$$x-4=3\sqrt{7} x-4=-3\sqrt{7}$$

수식의 양쪽에 4을(를) 더합니다.

$$x=3\sqrt{7}+4 x=4-3\sqrt{7}$$