다음을 풀어보세요: -9x^2+18x+68=0

$$- 9 x ^ { 2 } + 18 x + 68 = 0$$

x에 대한 해

$$x=\frac{\sqrt{77}}{3}+1\approx 3.924988129$$

$$x=-\frac{\sqrt{77}}{3}+1\approx -1.924988129$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$-9x^{2}+18x+68=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 -9을(를) a로, 18을(를) b로, 68을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\left(-9\right)\times 68}}{2\left(-9\right)}$$

18을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\left(-9\right)\times 68}}{2\left(-9\right)}$$

-4에 -9을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+36\times 68}}{2\left(-9\right)}$$

36에 68을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+2448}}{2\left(-9\right)}$$

324을(를) 2448에 추가합니다.

$$x=\frac{-18±\sqrt{2772}}{2\left(-9\right)}$$

2772의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-18±6\sqrt{77}}{2\left(-9\right)}$$

2에 -9을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-18±6\sqrt{77}}{-18}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-18±6\sqrt{77}}{-18}을(를) 풉니다. -18을(를) 6\sqrt{77}에 추가합니다.

$$x=\frac{6\sqrt{77}-18}{-18}$$

-18+6\sqrt{77}을(를) -18(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{\sqrt{77}}{3}+1$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-18±6\sqrt{77}}{-18}을(를) 풉니다. -18에서 6\sqrt{77}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-6\sqrt{77}-18}{-18}$$

-18-6\sqrt{77}을(를) -18(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{\sqrt{77}}{3}+1$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{\sqrt{77}}{3}+1 x=\frac{\sqrt{77}}{3}+1$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$-9x^{2}+18x+68=0$$

수식의 양쪽에서 68을(를) 뺍니다.

$$-9x^{2}+18x+68-68=-68$$

자신에서 68을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$-9x^{2}+18x=-68$$

양쪽을 -9(으)로 나눕니다.

$$\frac{-9x^{2}+18x}{-9}=-\frac{68}{-9}$$

-9(으)로 나누면 -9(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{18}{-9}x=-\frac{68}{-9}$$

18을(를) -9(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-2x=-\frac{68}{-9}$$

-68을(를) -9(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-2x=\frac{68}{9}$$

x 항의 계수인 -2을(를) 2(으)로 나눠서 -1을(를) 구합니다. 그런 다음 -1의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-2x+1=\frac{68}{9}+1$$

\frac{68}{9}을(를) 1에 추가합니다.

$$x^{2}-2x+1=\frac{77}{9}$$

인수 x^{2}-2x+1. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{77}{9}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{77}{9}}$$

단순화합니다.

$$x-1=\frac{\sqrt{77}}{3} x-1=-\frac{\sqrt{77}}{3}$$

수식의 양쪽에 1을(를) 더합니다.

$$x=\frac{\sqrt{77}}{3}+1 x=-\frac{\sqrt{77}}{3}+1$$