다음을 풀어보세요: -7x^2+5x-4=0

$$- 7 x ^ { 2 } + 5 x - 4 = 0$$

x에 대한 해 (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{87}i+5}{14}\approx 0.357142857-0.666241361i$$

$$x=\frac{5+\sqrt{87}i}{14}\approx 0.357142857+0.666241361i$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$-7x^{2}+5x-4=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 -7을(를) a로, 5을(를) b로, -4을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-7\right)\left(-4\right)}}{2\left(-7\right)}$$

5을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-7\right)\left(-4\right)}}{2\left(-7\right)}$$

-4에 -7을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+28\left(-4\right)}}{2\left(-7\right)}$$

28에 -4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-112}}{2\left(-7\right)}$$

25을(를) -112에 추가합니다.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-87}}{2\left(-7\right)}$$

-87의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-5±\sqrt{87}i}{2\left(-7\right)}$$

2에 -7을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-5±\sqrt{87}i}{-14}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-5±\sqrt{87}i}{-14}을(를) 풉니다. -5을(를) i\sqrt{87}에 추가합니다.

$$x=\frac{-5+\sqrt{87}i}{-14}$$

-5+i\sqrt{87}을(를) -14(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{-\sqrt{87}i+5}{14}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-5±\sqrt{87}i}{-14}을(를) 풉니다. -5에서 i\sqrt{87}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-\sqrt{87}i-5}{-14}$$

-5-i\sqrt{87}을(를) -14(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{5+\sqrt{87}i}{14}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{-\sqrt{87}i+5}{14} x=\frac{5+\sqrt{87}i}{14}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$-7x^{2}+5x-4=0$$

수식의 양쪽에 4을(를) 더합니다.

$$-7x^{2}+5x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

자신에서 -4을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$-7x^{2}+5x=-\left(-4\right)$$

0에서 -4을(를) 뺍니다.

$$-7x^{2}+5x=4$$

양쪽을 -7(으)로 나눕니다.

$$\frac{-7x^{2}+5x}{-7}=\frac{4}{-7}$$

-7(으)로 나누면 -7(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{5}{-7}x=\frac{4}{-7}$$

5을(를) -7(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-\frac{5}{7}x=\frac{4}{-7}$$

4을(를) -7(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-\frac{5}{7}x=-\frac{4}{7}$$

x 항의 계수인 -\frac{5}{7}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{5}{14}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{5}{14}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{5}{7}x+\left(-\frac{5}{14}\right)^{2}=-\frac{4}{7}+\left(-\frac{5}{14}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{5}{14}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=-\frac{4}{7}+\frac{25}{196}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{4}{7}을(를) \frac{25}{196}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=-\frac{87}{196}$$

x^{2}-\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}을(를) 인수 분해합니다. 일반적으로 x^{2}+bx+c가 완전 제곱일 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}로 인수 분해될 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{5}{14}\right)^{2}=-\frac{87}{196}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{14}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{87}{196}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{5}{14}=\frac{\sqrt{87}i}{14} x-\frac{5}{14}=-\frac{\sqrt{87}i}{14}$$

수식의 양쪽에 \frac{5}{14}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{5+\sqrt{87}i}{14} x=\frac{-\sqrt{87}i+5}{14}$$