다음을 풀어보세요: -5z^2-4z+3=0

$$- 5 z ^ { 2 } - 4 z + 3 = 0$$

z에 대한 해

$$z=\frac{\sqrt{19}-2}{5}\approx 0.471779789$$

$$z=\frac{-\sqrt{19}-2}{5}\approx -1.271779789$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$-5z^{2}-4z+3=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 -5을(를) a로, -4을(를) b로, 3을(를) c로 치환합니다.

$$z=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\left(-5\right)\times 3}}{2\left(-5\right)}$$

-4을(를) 제곱합니다.

$$z=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\left(-5\right)\times 3}}{2\left(-5\right)}$$

-4에 -5을(를) 곱합니다.

$$z=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+20\times 3}}{2\left(-5\right)}$$

20에 3을(를) 곱합니다.

$$z=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+60}}{2\left(-5\right)}$$

16을(를) 60에 추가합니다.

$$z=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{76}}{2\left(-5\right)}$$

76의 제곱근을 구합니다.

$$z=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{19}}{2\left(-5\right)}$$

-4의 반대는 4입니다.

$$z=\frac{4±2\sqrt{19}}{2\left(-5\right)}$$

2에 -5을(를) 곱합니다.

$$z=\frac{4±2\sqrt{19}}{-10}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 z=\frac{4±2\sqrt{19}}{-10}을(를) 풉니다. 4을(를) 2\sqrt{19}에 추가합니다.

$$z=\frac{2\sqrt{19}+4}{-10}$$

4+2\sqrt{19}을(를) -10(으)로 나눕니다.

$$z=\frac{-\sqrt{19}-2}{5}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 z=\frac{4±2\sqrt{19}}{-10}을(를) 풉니다. 4에서 2\sqrt{19}을(를) 뺍니다.

$$z=\frac{4-2\sqrt{19}}{-10}$$

4-2\sqrt{19}을(를) -10(으)로 나눕니다.

$$z=\frac{\sqrt{19}-2}{5}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$z=\frac{-\sqrt{19}-2}{5} z=\frac{\sqrt{19}-2}{5}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$-5z^{2}-4z+3=0$$

수식의 양쪽에서 3을(를) 뺍니다.

$$-5z^{2}-4z+3-3=-3$$

자신에서 3을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$-5z^{2}-4z=-3$$

양쪽을 -5(으)로 나눕니다.

$$\frac{-5z^{2}-4z}{-5}=-\frac{3}{-5}$$

-5(으)로 나누면 -5(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$z^{2}+\left(-\frac{4}{-5}\right)z=-\frac{3}{-5}$$

-4을(를) -5(으)로 나눕니다.

$$z^{2}+\frac{4}{5}z=-\frac{3}{-5}$$

-3을(를) -5(으)로 나눕니다.

$$z^{2}+\frac{4}{5}z=\frac{3}{5}$$

x 항의 계수인 \frac{4}{5}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{2}{5}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{2}{5}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$z^{2}+\frac{4}{5}z+\left(\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{3}{5}+\left(\frac{2}{5}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{2}{5}을(를) 제곱합니다.

$$z^{2}+\frac{4}{5}z+\frac{4}{25}=\frac{3}{5}+\frac{4}{25}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{3}{5}을(를) \frac{4}{25}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$z^{2}+\frac{4}{5}z+\frac{4}{25}=\frac{19}{25}$$

인수 z^{2}+\frac{4}{5}z+\frac{4}{25}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(z+\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{19}{25}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(z+\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{19}{25}}$$

단순화합니다.

$$z+\frac{2}{5}=\frac{\sqrt{19}}{5} z+\frac{2}{5}=-\frac{\sqrt{19}}{5}$$

수식의 양쪽에서 \frac{2}{5}을(를) 뺍니다.

$$z=\frac{\sqrt{19}-2}{5} z=\frac{-\sqrt{19}-2}{5}$$