다음을 풀어보세요: -4b^2+22b-4=0

$$- 4 b ^ { 2 } + 22 b - 4 = 0$$

b에 대한 해

$$b = \frac{\sqrt{105} + 11}{4} \approx 5.311737691$$

$$b=\frac{11-\sqrt{105}}{4}\approx 0.188262309$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$-4b^{2}+22b-4=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 -4을(를) a로, 22을(를) b로, -4을(를) c로 치환합니다.

$$b=\frac{-22±\sqrt{22^{2}-4\left(-4\right)\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

22을(를) 제곱합니다.

$$b=\frac{-22±\sqrt{484-4\left(-4\right)\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

-4에 -4을(를) 곱합니다.

$$b=\frac{-22±\sqrt{484+16\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

16에 -4을(를) 곱합니다.

$$b=\frac{-22±\sqrt{484-64}}{2\left(-4\right)}$$

484을(를) -64에 추가합니다.

$$b=\frac{-22±\sqrt{420}}{2\left(-4\right)}$$

420의 제곱근을 구합니다.

$$b=\frac{-22±2\sqrt{105}}{2\left(-4\right)}$$

2에 -4을(를) 곱합니다.

$$b=\frac{-22±2\sqrt{105}}{-8}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 b=\frac{-22±2\sqrt{105}}{-8}을(를) 풉니다. -22을(를) 2\sqrt{105}에 추가합니다.

$$b=\frac{2\sqrt{105}-22}{-8}$$

-22+2\sqrt{105}을(를) -8(으)로 나눕니다.

$$b=\frac{11-\sqrt{105}}{4}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 b=\frac{-22±2\sqrt{105}}{-8}을(를) 풉니다. -22에서 2\sqrt{105}을(를) 뺍니다.

$$b=\frac{-2\sqrt{105}-22}{-8}$$

-22-2\sqrt{105}을(를) -8(으)로 나눕니다.

$$b=\frac{\sqrt{105}+11}{4}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$b=\frac{11-\sqrt{105}}{4} b=\frac{\sqrt{105}+11}{4}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$-4b^{2}+22b-4=0$$

수식의 양쪽에 4을(를) 더합니다.

$$-4b^{2}+22b-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

자신에서 -4을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$-4b^{2}+22b=-\left(-4\right)$$

0에서 -4을(를) 뺍니다.

$$-4b^{2}+22b=4$$

양쪽을 -4(으)로 나눕니다.

$$\frac{-4b^{2}+22b}{-4}=\frac{4}{-4}$$

-4(으)로 나누면 -4(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$b^{2}+\frac{22}{-4}b=\frac{4}{-4}$$

2을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{22}{-4}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b=\frac{4}{-4}$$

4을(를) -4(으)로 나눕니다.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b=-1$$

x 항의 계수인 -\frac{11}{2}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{11}{4}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{11}{4}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{11}{4}을(를) 제곱합니다.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b+\frac{121}{16}=-1+\frac{121}{16}$$

-1을(를) \frac{121}{16}에 추가합니다.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b+\frac{121}{16}=\frac{105}{16}$$

인수 b^{2}-\frac{11}{2}b+\frac{121}{16}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(b-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{105}{16}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(b-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{105}{16}}$$

단순화합니다.

$$b-\frac{11}{4}=\frac{\sqrt{105}}{4} b-\frac{11}{4}=-\frac{\sqrt{105}}{4}$$

수식의 양쪽에 \frac{11}{4}을(를) 더합니다.

$$b=\frac{\sqrt{105}+11}{4} b=\frac{11-\sqrt{105}}{4}$$