다음을 풀어보세요: -4a^2-5a+1=0

$$- 4 a ^ { 2 } - 5 a + 1 = 0$$

a에 대한 해

$$a=\frac{\sqrt{41}-5}{8}\approx 0.17539053$$

$$a=\frac{-\sqrt{41}-5}{8}\approx -1.42539053$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$-4a^{2}-5a+1=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 -4을(를) a로, -5을(를) b로, 1을(를) c로 치환합니다.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

-5을(를) 제곱합니다.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

-4에 -4을(를) 곱합니다.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+16}}{2\left(-4\right)}$$

25을(를) 16에 추가합니다.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{41}}{2\left(-4\right)}$$

-5의 반대는 5입니다.

$$a=\frac{5±\sqrt{41}}{2\left(-4\right)}$$

2에 -4을(를) 곱합니다.

$$a=\frac{5±\sqrt{41}}{-8}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 a=\frac{5±\sqrt{41}}{-8}을(를) 풉니다. 5을(를) \sqrt{41}에 추가합니다.

$$a=\frac{\sqrt{41}+5}{-8}$$

5+\sqrt{41}을(를) -8(으)로 나눕니다.

$$a=\frac{-\sqrt{41}-5}{8}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 a=\frac{5±\sqrt{41}}{-8}을(를) 풉니다. 5에서 \sqrt{41}을(를) 뺍니다.

$$a=\frac{5-\sqrt{41}}{-8}$$

5-\sqrt{41}을(를) -8(으)로 나눕니다.

$$a=\frac{\sqrt{41}-5}{8}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$a=\frac{-\sqrt{41}-5}{8} a=\frac{\sqrt{41}-5}{8}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$-4a^{2}-5a+1=0$$

수식의 양쪽에서 1을(를) 뺍니다.

$$-4a^{2}-5a+1-1=-1$$

자신에서 1을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$-4a^{2}-5a=-1$$

양쪽을 -4(으)로 나눕니다.

$$\frac{-4a^{2}-5a}{-4}=-\frac{1}{-4}$$

-4(으)로 나누면 -4(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$a^{2}+\left(-\frac{5}{-4}\right)a=-\frac{1}{-4}$$

-5을(를) -4(으)로 나눕니다.

$$a^{2}+\frac{5}{4}a=-\frac{1}{-4}$$

-1을(를) -4(으)로 나눕니다.

$$a^{2}+\frac{5}{4}a=\frac{1}{4}$$

x 항의 계수인 \frac{5}{4}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{5}{8}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{5}{8}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$a^{2}+\frac{5}{4}a+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{5}{8}을(를) 제곱합니다.

$$a^{2}+\frac{5}{4}a+\frac{25}{64}=\frac{1}{4}+\frac{25}{64}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{1}{4}을(를) \frac{25}{64}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$a^{2}+\frac{5}{4}a+\frac{25}{64}=\frac{41}{64}$$

인수 a^{2}+\frac{5}{4}a+\frac{25}{64}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(a+\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{41}{64}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(a+\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{64}}$$

단순화합니다.

$$a+\frac{5}{8}=\frac{\sqrt{41}}{8} a+\frac{5}{8}=-\frac{\sqrt{41}}{8}$$

수식의 양쪽에서 \frac{5}{8}을(를) 뺍니다.

$$a=\frac{\sqrt{41}-5}{8} a=\frac{-\sqrt{41}-5}{8}$$