다음을 풀어보세요: -3x^2-x+10=0

$$- 3 x ^ { 2 } - x + 10 = 0$$

x에 대한 해

$$x=-2$$

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 -3x^{2}+ax+bx+10(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=-1 ab=-3\times 10=-30$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b 음수 이기 때문에 음수 값은 양수 보다 더 큰 절대값을 가집니다. 제품 -30을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

이 해답은 합계 -1이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=5 b=-6$$

-3x^{2}-x+10을(를) \left(-3x^{2}+5x\right)+\left(-6x+10\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(-3x^{2}+5x\right)+\left(-6x+10\right)$$

첫 번째 그룹 및 -2에서 -x를 제한 합니다.

$$-x\left(3x-5\right)-2\left(3x-5\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 3x-5을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(3x-5\right)\left(-x-2\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 3x-5=0을 해결 하 고, -x-2=0.

$$x=\frac{5}{3} x=-2$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$-3x^{2}-x+10=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 -3을(를) a로, -1을(를) b로, 10을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-3\right)\times 10}}{2\left(-3\right)}$$

-4에 -3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+12\times 10}}{2\left(-3\right)}$$

12에 10을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+120}}{2\left(-3\right)}$$

1을(를) 120에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{121}}{2\left(-3\right)}$$

121의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±11}{2\left(-3\right)}$$

-1의 반대는 1입니다.

$$x=\frac{1±11}{2\left(-3\right)}$$

2에 -3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{1±11}{-6}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{1±11}{-6}을(를) 풉니다. 1을(를) 11에 추가합니다.

$$x=\frac{12}{-6}$$

12을(를) -6(으)로 나눕니다.

$$x=-2$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{1±11}{-6}을(를) 풉니다. 1에서 11을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{10}{-6}$$

2을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-10}{-6}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=\frac{5}{3}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=-2 x=\frac{5}{3}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$-3x^{2}-x+10=0$$

수식의 양쪽에서 10을(를) 뺍니다.

$$-3x^{2}-x+10-10=-10$$

자신에서 10을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$-3x^{2}-x=-10$$

양쪽을 -3(으)로 나눕니다.

$$\frac{-3x^{2}-x}{-3}=-\frac{10}{-3}$$

-3(으)로 나누면 -3(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\left(-\frac{1}{-3}\right)x=-\frac{10}{-3}$$

-1을(를) -3(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=-\frac{10}{-3}$$

-10을(를) -3(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=\frac{10}{3}$$

x 항의 계수인 \frac{1}{3}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{1}{6}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{1}{6}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{10}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{1}{6}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{10}{3}+\frac{1}{36}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{10}{3}을(를) \frac{1}{36}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{121}{36}$$

인수 x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{121}{36}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{36}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{1}{6}=\frac{11}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{11}{6}$$

수식의 양쪽에서 \frac{1}{6}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{5}{3} x=-2$$