다음을 풀어보세요: -3x^2-24x-51=0

$$- 3 x ^ { 2 } - 24 x - 51 = 0$$

x에 대한 해 (complex solution)

$$x=-4+i$$

$$x=-4-i$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$-3x^{2}-24x-51=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 -3을(를) a로, -24을(를) b로, -51을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\left(-3\right)\left(-51\right)}}{2\left(-3\right)}$$

-24을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\left(-3\right)\left(-51\right)}}{2\left(-3\right)}$$

-4에 -3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+12\left(-51\right)}}{2\left(-3\right)}$$

12에 -51을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-612}}{2\left(-3\right)}$$

576을(를) -612에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{-36}}{2\left(-3\right)}$$

-36의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±6i}{2\left(-3\right)}$$

-24의 반대는 24입니다.

$$x=\frac{24±6i}{2\left(-3\right)}$$

2에 -3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{24±6i}{-6}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{24±6i}{-6}을(를) 풉니다. 24을(를) 6i에 추가합니다.

$$x=\frac{24+6i}{-6}$$

24+6i을(를) -6(으)로 나눕니다.

$$x=-4-i$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{24±6i}{-6}을(를) 풉니다. 24에서 6i을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{24-6i}{-6}$$

24-6i을(를) -6(으)로 나눕니다.

$$x=-4+i$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=-4-i x=-4+i$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$-3x^{2}-24x-51=0$$

수식의 양쪽에 51을(를) 더합니다.

$$-3x^{2}-24x-51-\left(-51\right)=-\left(-51\right)$$

자신에서 -51을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$-3x^{2}-24x=-\left(-51\right)$$

0에서 -51을(를) 뺍니다.

$$-3x^{2}-24x=51$$

양쪽을 -3(으)로 나눕니다.

$$\frac{-3x^{2}-24x}{-3}=\frac{51}{-3}$$

-3(으)로 나누면 -3(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{-3}\right)x=\frac{51}{-3}$$

-24을(를) -3(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+8x=\frac{51}{-3}$$

51을(를) -3(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+8x=-17$$

x 항의 계수인 8을(를) 2(으)로 나눠서 4을(를) 구합니다. 그런 다음 4의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+8x+4^{2}=-17+4^{2}$$

4을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+8x+16=-17+16$$

-17을(를) 16에 추가합니다.

$$x^{2}+8x+16=-1$$

인수 x^{2}+8x+16. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+4\right)^{2}=-1$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+4\right)^{2}}=\sqrt{-1}$$

단순화합니다.

$$x+4=i x+4=-i$$

수식의 양쪽에서 4을(를) 뺍니다.

$$x=-4+i x=-4-i$$