다음을 풀어보세요: -3x^2+51x-156=0

$$- 3 x ^ { 2 } + 51 x - 156 = 0$$

x에 대한 해

$$x=4$$

$$x=13$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$-x^{2}+17x-52=0$$

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 -x^{2}+ax+bx-52(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=17 ab=-\left(-52\right)=52$$

ab은 양수 이기 때문에 a 및 b는 동일한 기호를가지고 있습니다. a+b은 양수 이기 때문에 a 및 b 모두 양수입니다. 제품 52을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$1,52 2,26 4,13$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$1+52=53 2+26=28 4+13=17$$

이 해답은 합계 17이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=13 b=4$$

-x^{2}+17x-52을(를) \left(-x^{2}+13x\right)+\left(4x-52\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(-x^{2}+13x\right)+\left(4x-52\right)$$

첫 번째 그룹 및 4에서 -x를 제한 합니다.

$$-x\left(x-13\right)+4\left(x-13\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 x-13을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(x-13\right)\left(-x+4\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 x-13=0을 해결 하 고, -x+4=0.

$$x=13 x=4$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$-3x^{2}+51x-156=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 -3을(를) a로, 51을(를) b로, -156을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-51±\sqrt{51^{2}-4\left(-3\right)\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

51을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-4\left(-3\right)\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

-4에 -3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+12\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

12에 -156을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-1872}}{2\left(-3\right)}$$

2601을(를) -1872에 추가합니다.

$$x=\frac{-51±\sqrt{729}}{2\left(-3\right)}$$

729의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-51±27}{2\left(-3\right)}$$

2에 -3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-51±27}{-6}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-51±27}{-6}을(를) 풉니다. -51을(를) 27에 추가합니다.

$$x=-\frac{24}{-6}$$

-24을(를) -6(으)로 나눕니다.

$$x=4$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-51±27}{-6}을(를) 풉니다. -51에서 27을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{78}{-6}$$

-78을(를) -6(으)로 나눕니다.

$$x=13$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=4 x=13$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$-3x^{2}+51x-156=0$$

수식의 양쪽에 156을(를) 더합니다.

$$-3x^{2}+51x-156-\left(-156\right)=-\left(-156\right)$$

자신에서 -156을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$-3x^{2}+51x=-\left(-156\right)$$

0에서 -156을(를) 뺍니다.

$$-3x^{2}+51x=156$$

양쪽을 -3(으)로 나눕니다.

$$\frac{-3x^{2}+51x}{-3}=\frac{156}{-3}$$

-3(으)로 나누면 -3(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{51}{-3}x=\frac{156}{-3}$$

51을(를) -3(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-17x=\frac{156}{-3}$$

156을(를) -3(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-17x=-52$$

x 항의 계수인 -17을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{17}{2}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{17}{2}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-17x+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}=-52+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{17}{2}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=-52+\frac{289}{4}$$

-52을(를) \frac{289}{4}에 추가합니다.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=\frac{81}{4}$$

인수 x^{2}-17x+\frac{289}{4}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{17}{2}=\frac{9}{2} x-\frac{17}{2}=-\frac{9}{2}$$

수식의 양쪽에 \frac{17}{2}을(를) 더합니다.

$$x=13 x=4$$