다음을 풀어보세요: -3x^2+5x-4=0

$$- 3 x ^ { 2 } + 5 x - 4 = 0$$

x에 대한 해 (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{6}\approx 0.833333333-0.799305254i$$

$$x=\frac{5+\sqrt{23}i}{6}\approx 0.833333333+0.799305254i$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$-3x^{2}+5x-4=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 -3을(를) a로, 5을(를) b로, -4을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-3\right)\left(-4\right)}}{2\left(-3\right)}$$

5을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-3\right)\left(-4\right)}}{2\left(-3\right)}$$

-4에 -3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+12\left(-4\right)}}{2\left(-3\right)}$$

12에 -4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-48}}{2\left(-3\right)}$$

25을(를) -48에 추가합니다.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-23}}{2\left(-3\right)}$$

-23의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-5±\sqrt{23}i}{2\left(-3\right)}$$

2에 -3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-5±\sqrt{23}i}{-6}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-5±\sqrt{23}i}{-6}을(를) 풉니다. -5을(를) i\sqrt{23}에 추가합니다.

$$x=\frac{-5+\sqrt{23}i}{-6}$$

-5+i\sqrt{23}을(를) -6(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{6}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-5±\sqrt{23}i}{-6}을(를) 풉니다. -5에서 i\sqrt{23}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i-5}{-6}$$

-5-i\sqrt{23}을(를) -6(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{5+\sqrt{23}i}{6}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{6} x=\frac{5+\sqrt{23}i}{6}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$-3x^{2}+5x-4=0$$

수식의 양쪽에 4을(를) 더합니다.

$$-3x^{2}+5x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

자신에서 -4을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$-3x^{2}+5x=-\left(-4\right)$$

0에서 -4을(를) 뺍니다.

$$-3x^{2}+5x=4$$

양쪽을 -3(으)로 나눕니다.

$$\frac{-3x^{2}+5x}{-3}=\frac{4}{-3}$$

-3(으)로 나누면 -3(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{5}{-3}x=\frac{4}{-3}$$

5을(를) -3(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=\frac{4}{-3}$$

4을(를) -3(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=-\frac{4}{3}$$

x 항의 계수인 -\frac{5}{3}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{5}{6}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{5}{6}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{4}{3}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{5}{6}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{4}{3}+\frac{25}{36}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{4}{3}을(를) \frac{25}{36}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{23}{36}$$

인수 x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{23}{36}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{23}{36}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{23}i}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{23}i}{6}$$

수식의 양쪽에 \frac{5}{6}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{5+\sqrt{23}i}{6} x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{6}$$