다음을 풀어보세요: -25x^2+21x-5=0

$$- 25 x ^ { 2 } + 21 x - 5 = 0$$

x에 대한 해 (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{59}i+21}{50}\approx 0.42-0.153622915i$$

$$x=\frac{21+\sqrt{59}i}{50}\approx 0.42+0.153622915i$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$-25x^{2}+21x-5=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 -25을(를) a로, 21을(를) b로, -5을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\left(-25\right)\left(-5\right)}}{2\left(-25\right)}$$

21을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-4\left(-25\right)\left(-5\right)}}{2\left(-25\right)}$$

-4에 -25을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441+100\left(-5\right)}}{2\left(-25\right)}$$

100에 -5을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-500}}{2\left(-25\right)}$$

441을(를) -500에 추가합니다.

$$x=\frac{-21±\sqrt{-59}}{2\left(-25\right)}$$

-59의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-21±\sqrt{59}i}{2\left(-25\right)}$$

2에 -25을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-21±\sqrt{59}i}{-50}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-21±\sqrt{59}i}{-50}을(를) 풉니다. -21을(를) i\sqrt{59}에 추가합니다.

$$x=\frac{-21+\sqrt{59}i}{-50}$$

-21+i\sqrt{59}을(를) -50(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{-\sqrt{59}i+21}{50}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-21±\sqrt{59}i}{-50}을(를) 풉니다. -21에서 i\sqrt{59}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-\sqrt{59}i-21}{-50}$$

-21-i\sqrt{59}을(를) -50(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{21+\sqrt{59}i}{50}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{-\sqrt{59}i+21}{50} x=\frac{21+\sqrt{59}i}{50}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$-25x^{2}+21x-5=0$$

수식의 양쪽에 5을(를) 더합니다.

$$-25x^{2}+21x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

자신에서 -5을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$-25x^{2}+21x=-\left(-5\right)$$

0에서 -5을(를) 뺍니다.

$$-25x^{2}+21x=5$$

양쪽을 -25(으)로 나눕니다.

$$\frac{-25x^{2}+21x}{-25}=\frac{5}{-25}$$

-25(으)로 나누면 -25(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{21}{-25}x=\frac{5}{-25}$$

21을(를) -25(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-\frac{21}{25}x=\frac{5}{-25}$$

5을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{5}{-25}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{21}{25}x=-\frac{1}{5}$$

x 항의 계수인 -\frac{21}{25}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{21}{50}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{21}{50}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{21}{25}x+\left(-\frac{21}{50}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(-\frac{21}{50}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{21}{50}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{21}{25}x+\frac{441}{2500}=-\frac{1}{5}+\frac{441}{2500}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{1}{5}을(를) \frac{441}{2500}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{21}{25}x+\frac{441}{2500}=-\frac{59}{2500}$$

인수 x^{2}-\frac{21}{25}x+\frac{441}{2500}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{21}{50}\right)^{2}=-\frac{59}{2500}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{21}{50}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{59}{2500}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{21}{50}=\frac{\sqrt{59}i}{50} x-\frac{21}{50}=-\frac{\sqrt{59}i}{50}$$

수식의 양쪽에 \frac{21}{50}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{21+\sqrt{59}i}{50} x=\frac{-\sqrt{59}i+21}{50}$$