다음을 풀어보세요: -2x^2+5x+5=0

$$- 2 x ^ { 2 } + 5 x + 5 = 0$$

x에 대한 해

$$x = \frac{\sqrt{65} + 5}{4} \approx 3.265564437$$

$$x=\frac{5-\sqrt{65}}{4}\approx -0.765564437$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$-2x^{2}+5x+5=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 -2을(를) a로, 5을(를) b로, 5을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-2\right)\times 5}}{2\left(-2\right)}$$

5을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-2\right)\times 5}}{2\left(-2\right)}$$

-4에 -2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+8\times 5}}{2\left(-2\right)}$$

8에 5을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+40}}{2\left(-2\right)}$$

25을(를) 40에 추가합니다.

$$x=\frac{-5±\sqrt{65}}{2\left(-2\right)}$$

2에 -2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-5±\sqrt{65}}{-4}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-5±\sqrt{65}}{-4}을(를) 풉니다. -5을(를) \sqrt{65}에 추가합니다.

$$x=\frac{\sqrt{65}-5}{-4}$$

-5+\sqrt{65}을(를) -4(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{5-\sqrt{65}}{4}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-5±\sqrt{65}}{-4}을(를) 풉니다. -5에서 \sqrt{65}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-\sqrt{65}-5}{-4}$$

-5-\sqrt{65}을(를) -4(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{\sqrt{65}+5}{4}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{5-\sqrt{65}}{4} x=\frac{\sqrt{65}+5}{4}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$-2x^{2}+5x+5=0$$

수식의 양쪽에서 5을(를) 뺍니다.

$$-2x^{2}+5x+5-5=-5$$

자신에서 5을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$-2x^{2}+5x=-5$$

양쪽을 -2(으)로 나눕니다.

$$\frac{-2x^{2}+5x}{-2}=-\frac{5}{-2}$$

-2(으)로 나누면 -2(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{5}{-2}x=-\frac{5}{-2}$$

5을(를) -2(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=-\frac{5}{-2}$$

-5을(를) -2(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=\frac{5}{2}$$

x 항의 계수인 -\frac{5}{2}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{5}{4}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{5}{4}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{5}{4}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{5}{2}+\frac{25}{16}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{5}{2}을(를) \frac{25}{16}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{65}{16}$$

인수 x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{65}{16}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{65}{16}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{\sqrt{65}}{4} x-\frac{5}{4}=-\frac{\sqrt{65}}{4}$$

수식의 양쪽에 \frac{5}{4}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{\sqrt{65}+5}{4} x=\frac{5-\sqrt{65}}{4}$$