다음을 풀어보세요: -2x^2+13x+24=0

$$- 2 x ^ { 2 } + 13 x + 24 = 0$$

x에 대한 해

$$x=8$$

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 -2x^{2}+ax+bx+24(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=13 ab=-2\times 24=-48$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b이(가) 양수이므로 양수는 음수보다 큰 절대값을 가집니다. 제품 -48을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$-1,48 -2,24 -3,16 -4,12 -6,8$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$-1+48=47 -2+24=22 -3+16=13 -4+12=8 -6+8=2$$

이 해답은 합계 13이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=16 b=-3$$

-2x^{2}+13x+24을(를) \left(-2x^{2}+16x\right)+\left(-3x+24\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(-2x^{2}+16x\right)+\left(-3x+24\right)$$

첫 번째 그룹 및 3에서 2x를 제한 합니다.

$$2x\left(-x+8\right)+3\left(-x+8\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 -x+8을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(-x+8\right)\left(2x+3\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 -x+8=0을 해결 하 고, 2x+3=0.

$$x=8 x=-\frac{3}{2}$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$-2x^{2}+13x+24=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 -2을(를) a로, 13을(를) b로, 24을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-2\right)\times 24}}{2\left(-2\right)}$$

13을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-2\right)\times 24}}{2\left(-2\right)}$$

-4에 -2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+8\times 24}}{2\left(-2\right)}$$

8에 24을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+192}}{2\left(-2\right)}$$

169을(를) 192에 추가합니다.

$$x=\frac{-13±\sqrt{361}}{2\left(-2\right)}$$

361의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-13±19}{2\left(-2\right)}$$

2에 -2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-13±19}{-4}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-13±19}{-4}을(를) 풉니다. -13을(를) 19에 추가합니다.

$$x=\frac{6}{-4}$$

2을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{6}{-4}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{3}{2}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-13±19}{-4}을(를) 풉니다. -13에서 19을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{32}{-4}$$

-32을(를) -4(으)로 나눕니다.

$$x=8$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{3}{2} x=8$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$-2x^{2}+13x+24=0$$

수식의 양쪽에서 24을(를) 뺍니다.

$$-2x^{2}+13x+24-24=-24$$

자신에서 24을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$-2x^{2}+13x=-24$$

양쪽을 -2(으)로 나눕니다.

$$\frac{-2x^{2}+13x}{-2}=-\frac{24}{-2}$$

-2(으)로 나누면 -2(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{13}{-2}x=-\frac{24}{-2}$$

13을(를) -2(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=-\frac{24}{-2}$$

-24을(를) -2(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=12$$

x 항의 계수인 -\frac{13}{2}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{13}{4}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{13}{4}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}=12+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{13}{4}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=12+\frac{169}{16}$$

12을(를) \frac{169}{16}에 추가합니다.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=\frac{361}{16}$$

인수 x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}=\frac{361}{16}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{16}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{13}{4}=\frac{19}{4} x-\frac{13}{4}=-\frac{19}{4}$$

수식의 양쪽에 \frac{13}{4}을(를) 더합니다.

$$x=8 x=-\frac{3}{2}$$