다음을 풀어보세요: -2x^2+12x-14>0

$$- 2 x ^ { 2 } + 12 x - 14 > 0$$

x에 대한 해

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

근의 공식을 사용한 단계

부등식을 -1로 곱하여 최대 거듭제곱의 계수를 -2x^{2}+12x-14 양수로 만듭니다. -1 음수 이기 때문에 같지 않음 방향이 변경 됩니다.

$$2x^{2}-12x+14<0$$

부등식의 해를 구하려면 왼쪽을 인수 분해합니다. 이차 다항식은 변환 ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)를 사용하여 인수 분해할 수 있습니다, 여기서 x_{1} 및 x_{2}는 이차방정식 ax^{2}+bx+c=0의 해답입니다.

$$2x^{2}-12x+14=0$$

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}을(를) 사용하여 해를 찾을 수 있습니다. 근의 공식에서 a을(를) 2(으)로, b을(를) -12(으)로, c을(를) 14(으)로 대체합니다.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 2\times 14}}{2\times 2}$$

계산을 합니다.

$$x=\frac{12±4\sqrt{2}}{4}$$

±이(가) 더하기일 때와 ±이(가) 빼기일 때 x=\frac{12±4\sqrt{2}}{4} 수식의 해를 찾습니다.

$$x=\sqrt{2}+3 x=3-\sqrt{2}$$

얻은 해답을 사용하여 부등식을 다시 작성합니다.

$$2\left(x-\left(\sqrt{2}+3\right)\right)\left(x-\left(3-\sqrt{2}\right)\right)<0$$

곱이 음수가 되려면 x-\left(\sqrt{2}+3\right) 및 x-\left(3-\sqrt{2}\right)이(가) 반대 부호여야 합니다. x-\left(\sqrt{2}+3\right)이(가) 양수이고 x-\left(3-\sqrt{2}\right)이(가) 음수인 경우를 고려합니다.

$$x-\left(\sqrt{2}+3\right)>0 x-\left(3-\sqrt{2}\right)<0$$

모든 x에 거짓입니다.

$$x\in \emptyset$$

x-\left(3-\sqrt{2}\right)이(가) 양수이고 x-\left(\sqrt{2}+3\right)이(가) 음수인 경우를 고려합니다.

$$x-\left(3-\sqrt{2}\right)>0 x-\left(\sqrt{2}+3\right)<0$$

두 부등식 모두를 만족하는 해답은 x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)입니다.

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

최종 해답은 얻은 해의 합입니다.

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$