다음을 풀어보세요: -16t^2+92t+20=0

$$- 16 t ^ { 2 } + 92 t + 20 = 0$$

t에 대한 해

$$t = \frac{\sqrt{609} + 23}{8} \approx 5.95974067$$

$$t=\frac{23-\sqrt{609}}{8}\approx -0.20974067$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$-16t^{2}+92t+20=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 -16을(를) a로, 92을(를) b로, 20을(를) c로 치환합니다.

$$t=\frac{-92±\sqrt{92^{2}-4\left(-16\right)\times 20}}{2\left(-16\right)}$$

92을(를) 제곱합니다.

$$t=\frac{-92±\sqrt{8464-4\left(-16\right)\times 20}}{2\left(-16\right)}$$

-4에 -16을(를) 곱합니다.

$$t=\frac{-92±\sqrt{8464+64\times 20}}{2\left(-16\right)}$$

64에 20을(를) 곱합니다.

$$t=\frac{-92±\sqrt{8464+1280}}{2\left(-16\right)}$$

8464을(를) 1280에 추가합니다.

$$t=\frac{-92±\sqrt{9744}}{2\left(-16\right)}$$

9744의 제곱근을 구합니다.

$$t=\frac{-92±4\sqrt{609}}{2\left(-16\right)}$$

2에 -16을(를) 곱합니다.

$$t=\frac{-92±4\sqrt{609}}{-32}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 t=\frac{-92±4\sqrt{609}}{-32}을(를) 풉니다. -92을(를) 4\sqrt{609}에 추가합니다.

$$t=\frac{4\sqrt{609}-92}{-32}$$

-92+4\sqrt{609}을(를) -32(으)로 나눕니다.

$$t=\frac{23-\sqrt{609}}{8}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 t=\frac{-92±4\sqrt{609}}{-32}을(를) 풉니다. -92에서 4\sqrt{609}을(를) 뺍니다.

$$t=\frac{-4\sqrt{609}-92}{-32}$$

-92-4\sqrt{609}을(를) -32(으)로 나눕니다.

$$t=\frac{\sqrt{609}+23}{8}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$t=\frac{23-\sqrt{609}}{8} t=\frac{\sqrt{609}+23}{8}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$-16t^{2}+92t+20=0$$

수식의 양쪽에서 20을(를) 뺍니다.

$$-16t^{2}+92t+20-20=-20$$

자신에서 20을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$-16t^{2}+92t=-20$$

양쪽을 -16(으)로 나눕니다.

$$\frac{-16t^{2}+92t}{-16}=-\frac{20}{-16}$$

-16(으)로 나누면 -16(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$t^{2}+\frac{92}{-16}t=-\frac{20}{-16}$$

4을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{92}{-16}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$t^{2}-\frac{23}{4}t=-\frac{20}{-16}$$

4을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-20}{-16}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$t^{2}-\frac{23}{4}t=\frac{5}{4}$$

x 항의 계수인 -\frac{23}{4}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{23}{8}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{23}{8}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$t^{2}-\frac{23}{4}t+\left(-\frac{23}{8}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(-\frac{23}{8}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{23}{8}을(를) 제곱합니다.

$$t^{2}-\frac{23}{4}t+\frac{529}{64}=\frac{5}{4}+\frac{529}{64}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{5}{4}을(를) \frac{529}{64}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$t^{2}-\frac{23}{4}t+\frac{529}{64}=\frac{609}{64}$$

인수 t^{2}-\frac{23}{4}t+\frac{529}{64}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(t-\frac{23}{8}\right)^{2}=\frac{609}{64}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(t-\frac{23}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{609}{64}}$$

단순화합니다.

$$t-\frac{23}{8}=\frac{\sqrt{609}}{8} t-\frac{23}{8}=-\frac{\sqrt{609}}{8}$$

수식의 양쪽에 \frac{23}{8}을(를) 더합니다.

$$t=\frac{\sqrt{609}+23}{8} t=\frac{23-\sqrt{609}}{8}$$