다음을 풀어보세요: -16t^2+64t+80=128

$$- 16 t ^ { 2 } + 64 t + 80 = 128$$

t에 대한 해

$$t=1$$

$$t=3$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

양쪽 모두에서 128을(를) 뺍니다.

$$-16t^{2}+64t+80-128=0$$

80에서 128을(를) 빼고 -48을(를) 구합니다.

$$-16t^{2}+64t-48=0$$

양쪽을 16(으)로 나눕니다.

$$-t^{2}+4t-3=0$$

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 -t^{2}+at+bt-3(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=4 ab=-\left(-3\right)=3$$

ab은 양수 이기 때문에 a 및 b는 동일한 기호를가지고 있습니다. a+b은 양수 이기 때문에 a 및 b 모두 양수입니다. 해당하는 쌍은 시스템 해답이 유일합니다.

$$a=3 b=1$$

-t^{2}+4t-3을(를) \left(-t^{2}+3t\right)+\left(t-3\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(-t^{2}+3t\right)+\left(t-3\right)$$

인수분해 -t^{2}+3t에서 -t를 뽑아냅니다.

$$-t\left(t-3\right)+t-3$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 t-3을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(t-3\right)\left(-t+1\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 t-3=0을 해결 하 고, -t+1=0.

$$t=3 t=1$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$-16t^{2}+64t+80=128$$

수식의 양쪽에서 128을(를) 뺍니다.

$$-16t^{2}+64t+80-128=128-128$$

자신에서 128을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$-16t^{2}+64t+80-128=0$$

80에서 128을(를) 뺍니다.

$$-16t^{2}+64t-48=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 -16을(를) a로, 64을(를) b로, -48을(를) c로 치환합니다.

$$t=\frac{-64±\sqrt{64^{2}-4\left(-16\right)\left(-48\right)}}{2\left(-16\right)}$$

64을(를) 제곱합니다.

$$t=\frac{-64±\sqrt{4096-4\left(-16\right)\left(-48\right)}}{2\left(-16\right)}$$

-4에 -16을(를) 곱합니다.

$$t=\frac{-64±\sqrt{4096+64\left(-48\right)}}{2\left(-16\right)}$$

64에 -48을(를) 곱합니다.

$$t=\frac{-64±\sqrt{4096-3072}}{2\left(-16\right)}$$

4096을(를) -3072에 추가합니다.

$$t=\frac{-64±\sqrt{1024}}{2\left(-16\right)}$$

1024의 제곱근을 구합니다.

$$t=\frac{-64±32}{2\left(-16\right)}$$

2에 -16을(를) 곱합니다.

$$t=\frac{-64±32}{-32}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 t=\frac{-64±32}{-32}을(를) 풉니다. -64을(를) 32에 추가합니다.

$$t=-\frac{32}{-32}$$

-32을(를) -32(으)로 나눕니다.

$$t=1$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 t=\frac{-64±32}{-32}을(를) 풉니다. -64에서 32을(를) 뺍니다.

$$t=-\frac{96}{-32}$$

-96을(를) -32(으)로 나눕니다.

$$t=3$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$t=1 t=3$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$-16t^{2}+64t+80=128$$

수식의 양쪽에서 80을(를) 뺍니다.

$$-16t^{2}+64t+80-80=128-80$$

자신에서 80을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$-16t^{2}+64t=128-80$$

128에서 80을(를) 뺍니다.

$$-16t^{2}+64t=48$$

양쪽을 -16(으)로 나눕니다.

$$\frac{-16t^{2}+64t}{-16}=\frac{48}{-16}$$

-16(으)로 나누면 -16(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$t^{2}+\frac{64}{-16}t=\frac{48}{-16}$$

64을(를) -16(으)로 나눕니다.

$$t^{2}-4t=\frac{48}{-16}$$

48을(를) -16(으)로 나눕니다.

$$t^{2}-4t=-3$$

x 항의 계수인 -4을(를) 2(으)로 나눠서 -2을(를) 구합니다. 그런 다음 -2의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$t^{2}-4t+\left(-2\right)^{2}=-3+\left(-2\right)^{2}$$

-2을(를) 제곱합니다.

$$t^{2}-4t+4=-3+4$$

-3을(를) 4에 추가합니다.

$$t^{2}-4t+4=1$$

인수 t^{2}-4t+4. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(t-2\right)^{2}=1$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(t-2\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

단순화합니다.

$$t-2=1 t-2=-1$$

수식의 양쪽에 2을(를) 더합니다.

$$t=3 t=1$$