다음을 풀어보세요: -16t^2+36t+7=0

$$- 16 t ^ { 2 } + 36 t + 7 = 0$$

t에 대한 해

$$t = \frac{\sqrt{109} + 9}{8} \approx 2.430038314$$

$$t=\frac{9-\sqrt{109}}{8}\approx -0.180038314$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$-16t^{2}+36t+7=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 -16을(를) a로, 36을(를) b로, 7을(를) c로 치환합니다.

$$t=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\left(-16\right)\times 7}}{2\left(-16\right)}$$

36을(를) 제곱합니다.

$$t=\frac{-36±\sqrt{1296-4\left(-16\right)\times 7}}{2\left(-16\right)}$$

-4에 -16을(를) 곱합니다.

$$t=\frac{-36±\sqrt{1296+64\times 7}}{2\left(-16\right)}$$

64에 7을(를) 곱합니다.

$$t=\frac{-36±\sqrt{1296+448}}{2\left(-16\right)}$$

1296을(를) 448에 추가합니다.

$$t=\frac{-36±\sqrt{1744}}{2\left(-16\right)}$$

1744의 제곱근을 구합니다.

$$t=\frac{-36±4\sqrt{109}}{2\left(-16\right)}$$

2에 -16을(를) 곱합니다.

$$t=\frac{-36±4\sqrt{109}}{-32}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 t=\frac{-36±4\sqrt{109}}{-32}을(를) 풉니다. -36을(를) 4\sqrt{109}에 추가합니다.

$$t=\frac{4\sqrt{109}-36}{-32}$$

-36+4\sqrt{109}을(를) -32(으)로 나눕니다.

$$t=\frac{9-\sqrt{109}}{8}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 t=\frac{-36±4\sqrt{109}}{-32}을(를) 풉니다. -36에서 4\sqrt{109}을(를) 뺍니다.

$$t=\frac{-4\sqrt{109}-36}{-32}$$

-36-4\sqrt{109}을(를) -32(으)로 나눕니다.

$$t=\frac{\sqrt{109}+9}{8}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$t=\frac{9-\sqrt{109}}{8} t=\frac{\sqrt{109}+9}{8}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$-16t^{2}+36t+7=0$$

수식의 양쪽에서 7을(를) 뺍니다.

$$-16t^{2}+36t+7-7=-7$$

자신에서 7을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$-16t^{2}+36t=-7$$

양쪽을 -16(으)로 나눕니다.

$$\frac{-16t^{2}+36t}{-16}=-\frac{7}{-16}$$

-16(으)로 나누면 -16(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$t^{2}+\frac{36}{-16}t=-\frac{7}{-16}$$

4을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{36}{-16}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$t^{2}-\frac{9}{4}t=-\frac{7}{-16}$$

-7을(를) -16(으)로 나눕니다.

$$t^{2}-\frac{9}{4}t=\frac{7}{16}$$

x 항의 계수인 -\frac{9}{4}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{9}{8}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{9}{8}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$t^{2}-\frac{9}{4}t+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{7}{16}+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{9}{8}을(를) 제곱합니다.

$$t^{2}-\frac{9}{4}t+\frac{81}{64}=\frac{7}{16}+\frac{81}{64}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{7}{16}을(를) \frac{81}{64}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$t^{2}-\frac{9}{4}t+\frac{81}{64}=\frac{109}{64}$$

인수 t^{2}-\frac{9}{4}t+\frac{81}{64}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(t-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{109}{64}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(t-\frac{9}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{109}{64}}$$

단순화합니다.

$$t-\frac{9}{8}=\frac{\sqrt{109}}{8} t-\frac{9}{8}=-\frac{\sqrt{109}}{8}$$

수식의 양쪽에 \frac{9}{8}을(를) 더합니다.

$$t=\frac{\sqrt{109}+9}{8} t=\frac{9-\sqrt{109}}{8}$$