다음을 풀어보세요: -y^2+10y+400=0

$$- { y }^{ 2 } +10y+400=0$$

y에 대한 해

$$y=5\sqrt{17}+5\approx 25.615528128$$

$$y=5-5\sqrt{17}\approx -15.615528128$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$-y^{2}+10y+400=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 -1을(를) a로, 10을(를) b로, 400을(를) c로 치환합니다.

$$y=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-1\right)\times 400}}{2\left(-1\right)}$$

10을(를) 제곱합니다.

$$y=\frac{-10±\sqrt{100-4\left(-1\right)\times 400}}{2\left(-1\right)}$$

-4에 -1을(를) 곱합니다.

$$y=\frac{-10±\sqrt{100+4\times 400}}{2\left(-1\right)}$$

4에 400을(를) 곱합니다.

$$y=\frac{-10±\sqrt{100+1600}}{2\left(-1\right)}$$

100을(를) 1600에 추가합니다.

$$y=\frac{-10±\sqrt{1700}}{2\left(-1\right)}$$

1700의 제곱근을 구합니다.

$$y=\frac{-10±10\sqrt{17}}{2\left(-1\right)}$$

2에 -1을(를) 곱합니다.

$$y=\frac{-10±10\sqrt{17}}{-2}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 y=\frac{-10±10\sqrt{17}}{-2}을(를) 풉니다. -10을(를) 10\sqrt{17}에 추가합니다.

$$y=\frac{10\sqrt{17}-10}{-2}$$

-10+10\sqrt{17}을(를) -2(으)로 나눕니다.

$$y=5-5\sqrt{17}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 y=\frac{-10±10\sqrt{17}}{-2}을(를) 풉니다. -10에서 10\sqrt{17}을(를) 뺍니다.

$$y=\frac{-10\sqrt{17}-10}{-2}$$

-10-10\sqrt{17}을(를) -2(으)로 나눕니다.

$$y=5\sqrt{17}+5$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$y=5-5\sqrt{17} y=5\sqrt{17}+5$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$-y^{2}+10y+400=0$$

수식의 양쪽에서 400을(를) 뺍니다.

$$-y^{2}+10y+400-400=-400$$

자신에서 400을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$-y^{2}+10y=-400$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$\frac{-y^{2}+10y}{-1}=-\frac{400}{-1}$$

-1(으)로 나누면 -1(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$y^{2}+\frac{10}{-1}y=-\frac{400}{-1}$$

10을(를) -1(으)로 나눕니다.

$$y^{2}-10y=-\frac{400}{-1}$$

-400을(를) -1(으)로 나눕니다.

$$y^{2}-10y=400$$

x 항의 계수인 -10을(를) 2(으)로 나눠서 -5을(를) 구합니다. 그런 다음 -5의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$y^{2}-10y+\left(-5\right)^{2}=400+\left(-5\right)^{2}$$

-5을(를) 제곱합니다.

$$y^{2}-10y+25=400+25$$

400을(를) 25에 추가합니다.

$$y^{2}-10y+25=425$$

인수 y^{2}-10y+25. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(y-5\right)^{2}=425$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(y-5\right)^{2}}=\sqrt{425}$$

단순화합니다.

$$y-5=5\sqrt{17} y-5=-5\sqrt{17}$$

수식의 양쪽에 5을(를) 더합니다.

$$y=5\sqrt{17}+5 y=5-5\sqrt{17}$$