다음을 풀어보세요: -t^2+20t+175=0

$$- { t }^{ 2 } +20t+175 = 0$$

t에 대한 해

$$t=5\sqrt{11}+10\approx 26.583123952$$

$$t=10-5\sqrt{11}\approx -6.583123952$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$-t^{2}+20t+175=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 -1을(를) a로, 20을(를) b로, 175을(를) c로 치환합니다.

$$t=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-1\right)\times 175}}{2\left(-1\right)}$$

20을(를) 제곱합니다.

$$t=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-1\right)\times 175}}{2\left(-1\right)}$$

-4에 -1을(를) 곱합니다.

$$t=\frac{-20±\sqrt{400+4\times 175}}{2\left(-1\right)}$$

4에 175을(를) 곱합니다.

$$t=\frac{-20±\sqrt{400+700}}{2\left(-1\right)}$$

400을(를) 700에 추가합니다.

$$t=\frac{-20±\sqrt{1100}}{2\left(-1\right)}$$

1100의 제곱근을 구합니다.

$$t=\frac{-20±10\sqrt{11}}{2\left(-1\right)}$$

2에 -1을(를) 곱합니다.

$$t=\frac{-20±10\sqrt{11}}{-2}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 t=\frac{-20±10\sqrt{11}}{-2}을(를) 풉니다. -20을(를) 10\sqrt{11}에 추가합니다.

$$t=\frac{10\sqrt{11}-20}{-2}$$

-20+10\sqrt{11}을(를) -2(으)로 나눕니다.

$$t=10-5\sqrt{11}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 t=\frac{-20±10\sqrt{11}}{-2}을(를) 풉니다. -20에서 10\sqrt{11}을(를) 뺍니다.

$$t=\frac{-10\sqrt{11}-20}{-2}$$

-20-10\sqrt{11}을(를) -2(으)로 나눕니다.

$$t=5\sqrt{11}+10$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$t=10-5\sqrt{11} t=5\sqrt{11}+10$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$-t^{2}+20t+175=0$$

수식의 양쪽에서 175을(를) 뺍니다.

$$-t^{2}+20t+175-175=-175$$

자신에서 175을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$-t^{2}+20t=-175$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$\frac{-t^{2}+20t}{-1}=-\frac{175}{-1}$$

-1(으)로 나누면 -1(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$t^{2}+\frac{20}{-1}t=-\frac{175}{-1}$$

20을(를) -1(으)로 나눕니다.

$$t^{2}-20t=-\frac{175}{-1}$$

-175을(를) -1(으)로 나눕니다.

$$t^{2}-20t=175$$

x 항의 계수인 -20을(를) 2(으)로 나눠서 -10을(를) 구합니다. 그런 다음 -10의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$t^{2}-20t+\left(-10\right)^{2}=175+\left(-10\right)^{2}$$

-10을(를) 제곱합니다.

$$t^{2}-20t+100=175+100$$

175을(를) 100에 추가합니다.

$$t^{2}-20t+100=275$$

인수 t^{2}-20t+100. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(t-10\right)^{2}=275$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(t-10\right)^{2}}=\sqrt{275}$$

단순화합니다.

$$t-10=5\sqrt{11} t-10=-5\sqrt{11}$$

수식의 양쪽에 10을(를) 더합니다.

$$t=5\sqrt{11}+10 t=10-5\sqrt{11}$$