다음을 풀어보세요: -1/5x^2+3x+16/5=0

$$- \frac{ 1 }{ 5 } { x }^{ 2 } +3x+ \frac{ 16 }{ 5 } =0$$

x에 대한 해

$$x=-1$$

$$x=16$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$-\frac{1}{5}x^{2}+3x+\frac{16}{5}=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 -\frac{1}{5}을(를) a로, 3을(를) b로, \frac{16}{5}을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-\frac{1}{5}\right)\times \frac{16}{5}}}{2\left(-\frac{1}{5}\right)}$$

3을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-\frac{1}{5}\right)\times \frac{16}{5}}}{2\left(-\frac{1}{5}\right)}$$

-4에 -\frac{1}{5}을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+\frac{4}{5}\times \frac{16}{5}}}{2\left(-\frac{1}{5}\right)}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 \frac{4}{5}에 \frac{16}{5}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+\frac{64}{25}}}{2\left(-\frac{1}{5}\right)}$$

9을(를) \frac{64}{25}에 추가합니다.

$$x=\frac{-3±\sqrt{\frac{289}{25}}}{2\left(-\frac{1}{5}\right)}$$

\frac{289}{25}의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-3±\frac{17}{5}}{2\left(-\frac{1}{5}\right)}$$

2에 -\frac{1}{5}을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-3±\frac{17}{5}}{-\frac{2}{5}}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-3±\frac{17}{5}}{-\frac{2}{5}}을(를) 풉니다. -3을(를) \frac{17}{5}에 추가합니다.

$$x=\frac{\frac{2}{5}}{-\frac{2}{5}}$$

\frac{2}{5}에 -\frac{2}{5}의 역수를 곱하여 \frac{2}{5}을(를) -\frac{2}{5}(으)로 나눕니다.

$$x=-1$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-3±\frac{17}{5}}{-\frac{2}{5}}을(를) 풉니다. -3에서 \frac{17}{5}을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{\frac{32}{5}}{-\frac{2}{5}}$$

-\frac{32}{5}에 -\frac{2}{5}의 역수를 곱하여 -\frac{32}{5}을(를) -\frac{2}{5}(으)로 나눕니다.

$$x=16$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=-1 x=16$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$-\frac{1}{5}x^{2}+3x+\frac{16}{5}=0$$

수식의 양쪽에서 \frac{16}{5}을(를) 뺍니다.

$$-\frac{1}{5}x^{2}+3x+\frac{16}{5}-\frac{16}{5}=-\frac{16}{5}$$

자신에서 \frac{16}{5}을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$-\frac{1}{5}x^{2}+3x=-\frac{16}{5}$$

양쪽에 -5을(를) 곱합니다.

$$\frac{-\frac{1}{5}x^{2}+3x}{-\frac{1}{5}}=-\frac{\frac{16}{5}}{-\frac{1}{5}}$$

-\frac{1}{5}(으)로 나누면 -\frac{1}{5}(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{3}{-\frac{1}{5}}x=-\frac{\frac{16}{5}}{-\frac{1}{5}}$$

3에 -\frac{1}{5}의 역수를 곱하여 3을(를) -\frac{1}{5}(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-15x=-\frac{\frac{16}{5}}{-\frac{1}{5}}$$

-\frac{16}{5}에 -\frac{1}{5}의 역수를 곱하여 -\frac{16}{5}을(를) -\frac{1}{5}(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-15x=16$$

x 항의 계수인 -15을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{15}{2}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{15}{2}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-15x+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=16+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{15}{2}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=16+\frac{225}{4}$$

16을(를) \frac{225}{4}에 추가합니다.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=\frac{289}{4}$$

인수 x^{2}-15x+\frac{225}{4}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{289}{4}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{4}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{15}{2}=\frac{17}{2} x-\frac{15}{2}=-\frac{17}{2}$$

수식의 양쪽에 \frac{15}{2}을(를) 더합니다.

$$x=16 x=-1$$